Решение: Максимальное число повторений
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду «сместиться на $(a, b)$», где $a$, $b$ — целые числа. Эта команда перемещает Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x+a, y+b)$.
Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм, в котором число повторений и величины смещения в первой из повторяемых команд неизвестны:
НАЧАЛО
сместиться на $(2, -2)$
ПОВТОРИ … РАЗ
сместиться на $(…, …)$
сместиться на $(-2, 2)$
КОНЕЦ ПОВТОРИ
сместиться на $(-26, -16)$
КОНЕЦ
В результате выполнения этого алгоритма Чертёжник возвращается в исходную точку. Какое наибольшее число повторений могло быть указано в конструкции «ПОВТОРИ … РАЗ»?
Решение по шагам
5 шаговПусть цикл повторяется $n$ раз, а первая команда в цикле имеет смещение $(a,b)$. Суммарное смещение по оси $x$ должно быть равно нулю:
$$2+n(a-2)-26=0$$Отсюда получаем:
$$n(a-2)=24$$Для координаты $y$ суммарное смещение также равно нулю:
$$-2+n(b+2)-16=0$$Следовательно:
$$n(b+2)=18$$Число повторений $n$ должно делить и $24$, и $18$. Поэтому $n$ является делителем их наибольшего общего делителя: $\gcd(24,18)=6$. Наибольшее возможное значение $n$ равно $6$.
Где здесь ошибаются
Не учитывать смещение $(2,-2)$ перед циклом и $(-26,-16)$ после цикла.
Считать, что число повторений может быть любым делителем только одного из чисел $24$ или $18$.
Забыть, что число повторений должно быть натуральным.