Решение: Подсчёт точек в объединении
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. Команды «Поднять хвост» и «Опустить хвост» переключают режим рисования. Команда «Вперёд $n$» перемещает Черепаху на $n$ единиц в направлении головы, «Назад $n$» — на $n$ единиц в противоположном направлении. Команды «Направо $m$» и «Налево $m$» изменяют направление движения на $m$ градусов по часовой стрелке и против часовой стрелки соответственно. Запись «Повтори $k$ [Команда1 Команда2 … КомандаS]» означает, что последовательность из $S$ команд повторится $k$ раз.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 2 [Вперёд 13 Направо 90 Вперёд 20 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 8 Направо 90 Назад 3 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 16 Направо 90 Вперёд 8 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
Решение по шагам
5 шаговПосле первого цикла Черепаха возвращается в начало координат. Первый прямоугольник имеет вершины $(0,0)$, $(0,13)$, $(20,13)$ и $(20,0)$.
$$0 \leq x \leq 20,\quad 0 \leq y \leq 13$$При поднятом хвосте Черепаха перемещается из точки $(0,0)$ в точку $(0,8)$, затем на 3 единицы назад по направлению, то есть в точку $(-3,8)$. Второй прямоугольник имеет вершины $(-3,8)$, $(-3,24)$, $(5,24)$ и $(5,8)$.
$$-3 \leq x \leq 5,\quad 8 \leq y \leq 24$$В первом прямоугольнике $(20+1)(13+1)=294$ целочисленные точки, во втором $(5-(-3)+1)(24-8+1)=153$ точки.
$$N_1=21\cdot14=294,\quad N_2=9\cdot17=153$$Пересечение прямоугольников задаётся условиями $0 \leq x \leq 5$ и $8 \leq y \leq 13$, поэтому содержит $6\cdot6=36$ точек.
$$N_{\cap}=6\cdot6=36$$По формуле включений-исключений находим число точек в объединении.
$$N=N_1+N_2-N_{\cap}=294+153-36=411$$Где здесь ошибаются
Перепутать направление движения при выполнении команды «Назад 3».
Принять размеры первого прямоугольника за ширину 13 и высоту 20, хотя направление головы сначала совпадает с осью ординат.
Не вычесть точки пересечения прямоугольников или не включить точки на границах.