Шешімі: Логическое выражение с делимостью
Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Для какого наименьшего натурального числа $A$ логическое выражение $\bigl(\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,35) \land \mathrm{ДЕЛ}(x,A)\bigr) \to \bigl(\mathrm{ДЕЛ}(x,21) \lor \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,A)\bigr)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$?
Шешімін қадамдап көрсету
3 қадамИмпликация ложна только тогда, когда её левая часть истинна, а правая — ложна. Поэтому должно выполняться: $x$ не делится на $35$, $x$ делится на $A$ и $x$ не делится на $21$.
$$\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,35) \land \mathrm{ДЕЛ}(x,A) \land \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,21)$$Чтобы выражение было тождественно истинным, не должно существовать числа, кратного $A$ и одновременно не кратного ни $35$, ни $21$. В частности, само число $A$ должно делиться на $35$ или на $21$.
Наименьшее натуральное число, делящееся на $35$ или на $21$, равно $21$. Если $A=21$, то любое число, делящееся на $A$, делится на $21$, поэтому правая часть импликации истинна.
Где здесь ошибаются
Проверяют только делимость на $35$ и не учитывают делимость на $21$.
Забывают, что импликация ложна только при истинной левой части и ложной правой части.
Выбирают наименьший общий делитель вместо наименьшего подходящего числа $A$.