Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 - 2x + 1, & x \geq -2, \\ -\dfrac{18}{x}, & x < -2. \end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервую часть функции преобразуем к виду параболы:
$$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2, \quad x \geq -2$$Вершина параболы имеет координаты $(1, 0)$. При пересечении с прямой $y = m$ получаем:
$$(x - 1)^2 = m, \quad x = 1 \pm \sqrt{m}$$Если $m < 0$, пересечений с параболой нет. При $m = 0$ имеется одна точка. При $0 < m \leq 9$ обе координаты $x = 1 \pm \sqrt{m}$ удовлетворяют условию $x \geq -2$, поскольку $\sqrt{m} \leq 3$. Поэтому парабола даёт две точки. При $m > 9$ точка $x = 1 - \sqrt{m}$ не удовлетворяет условию $x \geq -2$, а точка $x = 1 + \sqrt{m}$ удовлетворяет, поэтому остаётся одна точка.
$$1 - \sqrt{m} \geq -2 \Longleftrightarrow \sqrt{m} \leq 3 \Longleftrightarrow m \leq 9$$Для второй части функции решаем уравнение пересечения с прямой $y = m$:
$$-\dfrac{18}{x} = m \Longleftrightarrow x = -\dfrac{18}{m}$$При $m > 0$ точка гиперболы имеет положительную ординату. Условие $x < -2$ даёт $-\dfrac{18}{m} < -2$, то есть $0 < m < 9$. Следовательно, гипербола даёт одну точку только при $0 < m < 9$.
При $0 < m < 9$ всего получается три точки: две на параболе и одна на гиперболе. При $m = 9$ гипербола точки не даёт, а парабола даёт две точки. При $m > 9$ остаётся одна точка на параболе. При $m = 0$ имеется одна точка в вершине параболы.
Прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки при $m = 0$ или $m \geq 9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x \geq -2$ и $x < -2$.
Считать точку $(-2, 9)$ принадлежащей обеим частям графика.
Утверждать, что при $0 < m < 9$ всего две точки, не добавляя пересечение с гиперболой.
Включать значение $m = 9$ в область пересечений гиперболы.