Решение: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y=|x|\cdot(x+2)-3x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
4 шагаРаскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geq 0$ имеем $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-x(x+2)-3x=-x^2-5x, & x<0,\\ x(x+2)-3x=x^2-x, & x\geq 0.\end{cases}$$Левая часть графика — ветвь параболы $y=-x^2-5x$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\frac{5}{2}$ и ординату $y=\frac{25}{4}$. Поэтому с прямой $y=m$ левая ветвь имеет две точки при $m<\frac{25}{4}$, одну точку при $m=\frac{25}{4}$ и ни одной при $m>\frac{25}{4}$, если учитывать только значения $x<0$ с оговоркой о границе.
$$y=-\left(x+\frac52\right)^2+\frac{25}{4}$$Правая часть графика — ветвь параболы $y=x^2-x$. Её вершина имеет координаты $\left(\frac12,-\frac14\right)$. На промежутке $x\geq0$ прямая $y=m$ пересекает эту ветвь в двух точках при $-\frac14<m<0$, в одной точке при $m=-\frac14$ и в одной точке при $m\geq0$.
$$y=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14$$При $m=-\frac14$ правая ветвь имеет одну точку пересечения, а левая — одну, поэтому всего две точки. При $m=\frac{25}{4}$ левая ветвь имеет одну точку пересечения, а правая — одну, поэтому также всего две точки. Во всех остальных случаях число общих точек отличается от двух.
$$m=-\frac14\quad\text{или}\quad m=\frac{25}{4}$$Ровно две общие точки получаются при $m=-\frac14$ и $m=\frac{25}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разделяют исследование функции на случаи $x<0$ и $x\geq0$.
Считают точку $x=0$ принадлежащей обеим ветвям, хотя в кусочном задании она относится только к правой ветви.
Учитывают только касание одной параболы и не проверяют число пересечений с другой ветвью.