Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
7 шаговЗнаменатель обращается в ноль при $x=2$, поэтому $x=2$ не входит в область определения.
$$2-x\ne 0\Rightarrow x\ne 2$$Для всех допустимых значений $x$ сократим множитель $x-2$, используя равенство $2-x=-(x-2)$.
$$y=\frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}=-(x^2+1)=-x^2-1,\quad x\ne 2$$График — парабола $y=-x^2-1$, направленная ветвями вниз, с вершиной $ (0,-1) $ и выколотой точкой $ (2,-5) $.
Для нахождения общих точек параболы и прямой приравняем их правые части.
$$-x^2-1=kx\Rightarrow x^2+kx+1=0$$Квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень, если его дискриминант равен нулю.
$$D=k^2-4=0\Rightarrow k=2\text{ или }k=-2$$Возможен также случай, когда уравнение имеет два корня, но один из них равен недопустимому значению $x=2$. Подставим $x=2$.
$$2^2+2k+1=0\Rightarrow 2k+5=0\Rightarrow k=-\frac52$$При $k=-\frac52$ второй корень равен $\frac12$, поэтому остаётся ровно одна допустимая общая точка.
График: парабола $y=-x^2-1$ с выколотой точкой $(2,-5)$. Ровно одна общая точка получается при $k\in\left\{-\frac52,-2,2\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne 2$ после сокращения дроби.
Получить только $k=\pm2$ по условию равенства дискриминанта нулю и пропустить случай $k=-\frac52$.
Изобразить полную параболу без выколотой точки $(2,-5)$.