Решение: Хорда окружности и высота
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK$, если $BH = 14$.
Решение по шагам
4 шагаТак как $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, по теореме Фалеса углы $BPH$ и $BKH$ прямые. Следовательно, $PH \perp AB$ и $KH \perp CB$.
Поскольку $AB \perp CB$, отрезки $PH$ и $KH$ параллельны соответственно $CB$ и $AB$. Поэтому четырёхугольник $BPHK$ является прямоугольником.
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $PB = KH$ и $BK = PH$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $PBK$ получаем $PK^2 = PB^2 + BK^2 = KH^2 + PH^2 = BH^2$.
Так как $BH = 14$, имеем $PK^2 = 14^2$, откуда $PK = 14$.
14
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что $PK$ является диаметром данной окружности.
Не обосновать, почему углы $BPH$ и $BKH$ прямые.
Вычислить $PK$ как сумму $PB$ и $BK$, хотя это гипотенуза прямоугольного треугольника $PBK$.