Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}25x^2+0{,}5x)\cdot |x|}{x+2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
6 шаговРазложим числитель на множители и укажем область определения исходной функции:
$$0{,}25x^2+0{,}5x=0{,}25x(x+2),\qquad x\ne -2$$При $x\ne -2$ сократим общий множитель $x+2$:
$$y=\dfrac{0{,}25x(x+2)|x|}{x+2}=\dfrac{x|x|}{4}$$Раскроем модуль. При отрицательных $x$ получаем одну ветвь параболы, а при неотрицательных — другую:
$$y=\begin{cases}-\dfrac{x^2}{4},&x<0,\\[2pt]\dfrac{x^2}{4},&x\ge 0.\end{cases}$$График строится по указанным ветвям парабол. Из-за ограничения $x\ne -2$ на левой ветви отсутствует точка с абсциссой $-2$: точка $(-2;-1)$ является выколотой.
Значения функции на левой ветви принимают все отрицательные значения, кроме $-1$, так как значение $-1$ достигается только при $x=-2$. Правая ветвь принимает все значения от $0$ до бесконечности.
$$E(y)=(-\infty,-1)\cup(-1,\infty)$$Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком тогда и только тогда, когда число $m$ не принадлежит множеству значений функции.
$$m=-1$$$m=-1$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne -2$ после сокращения дроби.
Изобразить точку $(-2;-1)$ как принадлежащую графику.
Ошибочно считать, что после сокращения область определения становится всей числовой прямой.
Перепутать ветви: при $x<0$ функция имеет вид $y=-\dfrac{x^2}{4}$, а при $x\ge 0$ — $y=\dfrac{x^2}{4}$.