Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+3x)\cdot|x|}{x+3}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
6 шаговЗнаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому область определения: $x\ne-3$.
$$D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$$При допустимых значениях $x$ сократим множитель $x+3$ в числителе и знаменателе.
$$y=\dfrac{x(x+3)|x|}{x+3}=x|x|,\quad x\ne-3$$Раскроем модуль. Если $x<0$, то $|x|=-x$, а если $x\geqslant0$, то $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-x^2, & x<0,\ x^2, & x\geqslant0,\end{cases}\quad x\ne-3$$График строится по двум ветвям парабол: $y=-x^2$ на отрицательной полуоси и $y=x^2$ на неотрицательной полуоси. В точке с абсциссой $x=-3$ исходная функция не определена, поэтому на графике имеется выколотая точка.
$$y(-3)=-(-3)^2=-9$$Значение $y=-9$ не достигается: оно соответствовало бы только точке $x=-3$, которая исключена из области определения. Все остальные значения из множества значений достигаются.
$$E(y)=(-\infty;0]\setminus\{-9\}$$Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком тогда и только тогда, когда $m$ не принадлежит множеству значений функции.
$$m=-9$$График: $y=-x^2$ при $x<0$ и $y=x^2$ при $x\geqslant0$, с выколотой точкой $(-3;-9)$. Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком только при $m=-9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\ne-3$ после сокращения дроби.
Изображают точку $(-3;-9)$ как принадлежащую графику.
Считают, что значение $m=0$ не подходит, хотя точка $(0;0)$ принадлежит графику.