Решение: График модуля квадратичной функции
Постройте график функции $y = \left|x^2 - 4x + 3\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
5 шаговРассмотрим параболу $y=x^2-4x+3$. Преобразуем выражение:
$$x^2-4x+3=(x-2)^2-1=(x-1)(x-3)$$Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(1;0)$ и $(3;0)$, а её вершина имеет координаты $(2;-1)$. Под знаком модуля отрицательная часть графика отражается относительно оси абсцисс.
Таким образом, график функции состоит из двух внешних ветвей параболы и дуги, направленной вниз, с вершиной $(2;1)$. Функция принимает нулевое значение при $x=1$ и $x=3$.
Рассмотрим горизонтальную прямую $y=c$. При $0<c<1$ она пересекает каждую из двух внешних ветвей по одной точке и отражённую дугу ещё в двух точках.
Следовательно, наибольшее возможное число общих точек достигается при $0<c<1$ и равно четырём.
Наибольшее число общих точек равно 4.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не отражают часть параболы на промежутке $(1;3)$ относительно оси абсцисс.
Считают только пересечения с внешними ветвями параболы.
Принимают вершину исходной параболы $(2;-1)$ за вершину графика функции с модулем.