Решение: Расстояние от точки до окружности
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 30$, $AC = 100$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Решение по шагам
6 шаговВведём координаты: $A=(0,0)$, а центр окружности $O$ расположим на оси абсцисс: $O=(R,0)$, где $R$ — радиус описанной окружности. Тогда уравнение окружности имеет вид
$$(x-R)^2+y^2=R^2$$Так как точки $B$ и $C$ лежат на этой окружности, а $AB=30$ и $AC=100$, для любой точки $X=(x_X,y_X)$ окружности выполняется $x_X=\dfrac{AX^2}{2R}$. Поэтому
$$x_B=\dfrac{30^2}{2R}=\dfrac{450}{R},\qquad x_C=\dfrac{100^2}{2R}=\dfrac{5000}{R}$$Точка $D$ лежит на отрезке $AC$, а прямая $BD$ перпендикулярна $AO$. Следовательно, $BD$ вертикальна и $x_D=x_B=\dfrac{450}{R}$.
Поскольку точки $A$, $D$, $C$ лежат на одной прямой, абсциссы пропорциональны соответствующим расстояниям от точки $A$:
$$\frac{AD}{AC}=\frac{x_D}{x_C}=\frac{450/R}{5000/R}=\frac{9}{100}$$Находим длину отрезка $AD$:
$$AD=100\cdot\frac{9}{100}=9$$Тогда
$$CD=AC-AD=100-9=91$$$CD=91$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать условие $BD \perp AO$, считая, что $BD$ перпендикулярна стороне $AC$.
Забыть, что при выбранных координатах $x_D=x_B$, поскольку прямая $BD$ вертикальна.
Перепутать длины $AD$ и $CD$: сначала находится $AD=9$, после чего нужно вычесть его из $AC$.