Решение: Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 34$ и $CD = 22$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
7 шаговПо теореме об угле, образованном двумя пересекающимися хордами внутри окружности, получаем: сумма дуг $AB$ и $CD$ равна $120^\circ$.
Обозначим через $\alpha$ и $\beta$ половины центральных углов, опирающихся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. Тогда $\alpha + \beta = 60^\circ$.
Выразим длины хорд через радиус окружности:
$$34 = 2R\sin\alpha,\qquad 22 = 2R\sin\beta$$Так как $\beta = 60^\circ - \alpha$, имеем:
$$\frac{17}{R}=\sin\alpha,\qquad \frac{11}{R}=\sin(60^\circ-\alpha)$$Раскроем синус разности и выразим косинус через синус:
$$\frac{11}{R}=\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{1-\frac{289}{R^2}}-\frac{17}{2R}$$После умножения на $2R$ и возведения в квадрат получаем:
$$39=\sqrt3\sqrt{R^2-289},\qquad 1521=3(R^2-289)$$Следовательно, $3R^2=2388$, поэтому:
$$R^2=796=4\cdot199,\qquad R=2\sqrt{199}$$Радиус окружности равен $2\sqrt{199}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют разность дуг вместо их суммы в теореме об угле между пересекающимися хордами.
Забывают, что длина хорды выражается формулой $l=2R\sin\frac{\theta}{2}$.
При извлечении квадратного корня выбирают отрицательное значение радиуса.