Решение: Радиус окружности в трапеции
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $32$ и $4$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB = 14$.
Решение по шагам
7 шаговПусть $BH$ и $CK$ — высоты трапеции, $BH=CK=h$, а $AH=x$. Тогда $DK=32-4-x=28-x$.
$$AB^2=x^2+h^2=14^2$$Обозначим углы при основании $AD$ через $\alpha$ и $\beta$. По условию $\alpha+\beta=90^\circ$, поэтому $\tan\alpha\tan\beta=1$.
$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{28-x}=1$$Следовательно, $h^2=x(28-x)$. Подставляя это в равенство $x^2+h^2=196$, получаем $28x=196$, откуда $x=7$ и $h^2=147$.
$$h=7\sqrt{3}$$Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=(32,0)$, $B=(7,7\sqrt{3})$, $C=(11,7\sqrt{3})$. Пусть центр окружности имеет координаты $O=(p,q)$, а её радиус равен $R$.
$$R^2=p^2+q^2$$Так как окружность проходит через $A$ и $B$, расстояния от центра до этих точек равны. После упрощения получаем уравнение серединного перпендикуляра к $AB$.
$$7p+7\sqrt{3}q=98$$Прямая $CD$ имеет уравнение $7\sqrt{3}x+21y-224\sqrt{3}=0$. Используя $7p+7\sqrt{3}q=98$, находим расстояние от центра $O$ до этой прямой.
$$\frac{|7\sqrt{3}p+21q-224\sqrt{3}|}{\sqrt{(7\sqrt{3})^2+21^2}}=\frac{126\sqrt{3}}{14\sqrt{3}}=9$$Окружность касается прямой $CD$, поэтому расстояние от её центра до этой прямой равно радиусу.
$$R=9$$Радиус окружности равен $9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать, что сумма углов при основании трапеции всегда равна $180^\circ$.
Перепутать горизонтальные проекции сторон и длины самих сторон.
При нахождении расстояния от центра окружности до прямой забыть разделить на длину нормального вектора.