Решение: Расстояние от точки касания
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD = 12$, $BC = 9$.
Решение по шагам
5 шаговРасположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(9,0)$, $A=(0,h)$, $D=(12,h)$), где $h>0$. Пусть $E=(0,e)$. Центр окружности, касающейся прямой $AB$, имеет координаты $(r,e)$.
Так как окружность проходит через $C$ и $D$, получаем после подстановки координат точек в уравнение окружности:
$$h^2-2eh-e^2-18=0$$Это условие допускает разные значения высоты $h$ и соответствующие им положения точки $E$. Например, при $h=5$ имеем $e=-5+4\sqrt{2}$, причём точка $E$ лежит на отрезке $AB$.
Прямая $CD$ имеет уравнение $hx-3y-9h=0$. Поэтому расстояние от $E=(0,e)$ до этой прямой равно:
$$d=\frac{3(e+3h)}{\sqrt{h^2+9}}$$При $h=5$ получаем $d=\frac{3(15+4\sqrt{2})}{\sqrt{34}}$. При другом допустимом значении, например $h=6$, имеем $e=-6+3\sqrt{6}$ и $d=\frac{18+3\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$. Эти значения различны.
По приведённым данным расстояние однозначно определить нельзя: существуют разные трапеции, удовлетворяющие условию, но дающие разные расстояния от точки $E$ до прямой $CD$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что длины оснований $AD$ и $BC$ однозначно задают высоту трапеции.
Не учитывать, что положение точки касания $E$ зависит от высоты трапеции.
Записывать численный ответ без проверки единственности конфигурации.