Расстояние до ортоцентра
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$. $AD = 80$, $MD = 64$, $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На стороне остроугольного треугольника как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту в точке , , , точка пересечения высот треугольника . Найдите . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте свойство степени точки $D$ относительно окружности, для которой $BC$ является диаметром.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$, из пересекающихся хорд или координатного уравнения окружности получается $DB \cdot DC = MD^2$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Имеем $DB \cdot DC = 64^2 = 4096$. Если $H$ — ортоцентр, то из подобия треугольников или уравнения высоты $BH$ следует $DH = \dfrac{DB \cdot DC}{AD} = \dfrac{4096}{80} = 51{,}2$. Поэтому $AH = AD - DH$.