Решение: Диаметр окружности в треугольнике
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 1$, $AC = 5$.
Решение по шагам
7 шаговПусть $O$ — центр окружности. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.
$$OB \perp AB$$Обозначим $AO = x$. Поскольку точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, а $AC = 5$, имеем $OC = 5 - x$.
Радиусы одной окружности равны, поэтому $OB = OC = 5 - x$. По теореме Пифагора для треугольника $AOB$:
$$OB^2 = AO^2 + AB^2$$Подставим известные величины:
$$(5-x)^2=x^2+1$$Решая уравнение, получаем:
$$25-10x+x^2=x^2+1,\quad x=\frac{12}{5}$$Тогда радиус окружности равен:
$$R=OC=5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5}$$Следовательно, диаметр окружности:
$$d=2R=2\cdot\frac{13}{5}=\frac{26}{5}=5{,}2$$Диаметр окружности равен $\frac{26}{5}$, или $5{,}2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не используют перпендикулярность радиуса и касательной.
Ошибочно принимают $AO$ за радиус окружности.
Забывают, что $OB = OC$ как радиусы одной окружности.