Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}5x^2+2x)\cdot|x|}{x+4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
5 шаговНайдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne-4$.
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-4\}$$Разложим числитель на множители и сократим общий множитель $x+4$, помня об ограничении $x\ne-4$.
$$y=\frac{0{,}5x(x+4)|x|}{x+4}=0{,}5x|x|,\quad x\ne-4$$Раскроем модуль по определению.
$$y=\begin{cases}-0{,}5x^2, & x<0,\\0{,}5x^2, & x\geqslant0\end{cases},\quad x\ne-4$$График состоит из двух частей: ветви параболы $y=-0{,}5x^2$ при $x<0$ и ветви параболы $y=0{,}5x^2$ при $x\geqslant0$. Из-за ограничения $x\ne-4$ на первой ветви отсутствует точка с координатами $(-4;-8)$.
Прямая $y=m$ не пересекает график только в том случае, если её уровень соответствует отсутствующей точке. Все остальные горизонтальные уровни имеют хотя бы одну точку пересечения с графиком.
$m=-8$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сокращают множитель $x+4$ и забывают исключить значение $x=-4$.
Изображают точку $(-4;-8)$ закрашенной.
Указывают всю область значений функции как множество всех действительных чисел, не учитывая выколотую точку.