Шешімі: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 3, & x \geq -1, \\ -x + 1, & x < -1. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Шешім по шагам
7 қадамПервую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:
$$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$$Вершина параболы имеет координаты $(1;4)$. При $x=-1$ значение первой части равно $0$, поэтому на графике есть точка $(-1;0)$. Парабола строится только при $x\geq -1$.
Вторая часть является лучом прямой $y=-x+1$, заданным при $x<-1$. При приближении к $x=-1$ слева значение $y$ приближается к $2$, но точка $(-1;2)$ не принадлежит графику.
Найдём пересечения горизонтальной прямой $y=m$ с параболой:
$$-x^2+2x+3=m \iff (x-1)^2=4-m$$Если $0\leq m<4$, уравнение имеет два корня, и оба удовлетворяют условию $x\geq -1$. При $m=4$ получается одна точка — вершина параболы. При $m<0$ остаётся одна допустимая точка, а при $m>4$ пересечений с параболой нет.
Для линейной части уравнение $-x+1=m$ даёт $x=1-m$. Условие $x<-1$ выполняется тогда и только тогда, когда $m>2$. Значит, с лучом прямая $y=m$ пересекается ровно один раз при $m>2$.
При $0\leq m<4$ парабола даёт две точки. Если $m\leq 2$, линейная часть дополнительных точек не даёт, поэтому подходят значения $0\leq m\leq 2$. При $m=4$ есть одна точка на параболе и одна на линейной части, поэтому также получается ровно две точки.
$m\in[0;2]\cup\{4\}$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывать точку $(-1;2)$ как принадлежащую линейной части.
Забывать об ограничении $x\geq -1$ для параболы.
Считать, что при $m=4$ парабола даёт две точки, хотя это её вершина и точка единственная.
Не проверять отдельно граничные значения $m=2$ и $m=4$.