Шешімі: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{5{,}5}-\dfrac{5{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{5{,}5}+\dfrac{5{,}5}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Шешімін қадамдап көрсету
5 қадамОбозначим $a=\dfrac{x}{5{,}5}$ и $b=\dfrac{5{,}5}{x}$. Тогда исходная функция имеет вид $y=\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$, причём $x\neq 0$.
$$y=\max\left(\dfrac{x}{5{,}5},\dfrac{5{,}5}{x}\right)$$Точки смены ветвей находятся из равенства $\dfrac{x}{5{,}5}=\dfrac{5{,}5}{x}$, откуда $x^2=30{,}25$ и $x=\pm 5{,}5$.
С учётом знаков на различных промежутках функция задаётся так:
$$y=\begin{cases}\dfrac{5{,}5}{x},&x\leq -5{,}5,\\[4pt]\dfrac{x}{5{,}5},&-5{,}5\leq x<0,\\[4pt]\dfrac{5{,}5}{x},&0<x\leq 5{,}5,\\[4pt]\dfrac{x}{5{,}5},&x\geq 5{,}5.\end{cases}$$График состоит из двух частей гиперболы $y=\dfrac{5{,}5}{x}$ и двух частей прямой $y=\dfrac{x}{5{,}5}$. В точках $(-5{,}5;-1)$ и $(5{,}5;1)$ ветви соединяются.
При $m=-1$ горизонтальная прямая проходит через единственную точку $(-5{,}5;-1)$. При $m=1$ она проходит через единственную точку $(5{,}5;1)$. При $-1<m<0$ и $m>1$ имеются две точки пересечения, а при остальных значениях пересечений нет.
$m\in\{-1;1\}$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что $x\neq 0$, поскольку в функции есть дробь $\dfrac{5{,}5}{x}$.
Неправильно определяют, какая из двух величин является большей при отрицательных значениях $x$.
Считают, что при $m=-1$ или $m=1$ горизонтальная прямая пересекает обе ветви в разных точках, хотя соответствующие ветви соединяются в одной точке.