Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=-1-\dfrac{x-4}{x^2-4x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
6 шаговНайдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:
$$x^2-4x=x(x-4)\ne0,\qquad x\ne0,\ x\ne4$$Разложим знаменатель на множители и сократим общий множитель $x-4$, сохраняя ограничение $x\ne4$:
$$y=-1-\frac{x-4}{x(x-4)}=-1-\frac1x,\qquad x\ne0,\ x\ne4$$Основой графика является гипербола $y=-1-\dfrac1x$. Её асимптоты имеют уравнения $x=0$ и $y=-1$.
Из-за ограничения $x\ne4$ на графике отсутствует точка, которая принадлежала бы гиперболе при $x=4$:
$$y=-1-\frac14=-\frac54$$Следовательно, нужно построить гиперболу $y=-1-\dfrac1x$ и удалить из неё точку с координатами $\left(4,-\frac54\right)$.
Прямая $y=m$ не пересекает график, если её уровень совпадает с горизонтальной асимптотой $y=-1$ или с ординатой удалённой точки $y=-\frac54$.
График — гипербола $y=-1-\dfrac1x$ с асимптотами $x=0$ и $y=-1$, из которой удалена точка $\left(4,-\frac54\right)$. Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком при $m=-1$ или $m=-\frac54$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\ne4$ после сокращения дроби.
Строят обычную гиперболу без выколотой точки $\left(4,-\frac54\right)$.
Указывают только $m=-1$ и забывают уровень удалённой точки.
Считают, что вертикальная асимптота $x=0$ сама является значением параметра $m$.