Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y=3|x+2|-x^2-3x-2$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
9 шаговРаскроем модуль по определению. При $x\geq -2$ имеем $|x+2|=x+2$, поэтому функция принимает вид:
$$y=3(x+2)-x^2-3x-2=4-x^2$$При $x<-2$ имеем $|x+2|=-(x+2)$, поэтому:
$$y=-3(x+2)-x^2-3x-2=-x^2-6x-8=1-(x+3)^2$$Таким образом, график состоит из части параболы $y=4-x^2$ при $x\geq -2$ и части параболы $y=1-(x+3)^2$ при $x<-2$. Первая ветвь имеет вершину $(0;4)$ и проходит через точку $(-2;0)$.
Вторая ветвь имеет вершину $(-3;1)$ и приближается к точке $(-2;0)$ слева, но точка $(-2;0)$ в этой части не входит.
Для первой части уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид:
$$4-x^2=m,\quad x^2=4-m$$С учётом условия $x\geq -2$ первая часть даёт два решения при $0\leq m<4$, одно решение при $m<0$ и $m=4$.
Для второй части уравнение имеет вид:
$$1-(x+3)^2=m,\quad (x+3)^2=1-m$$С учётом условия $x<-2$ вторая часть даёт одно решение при $m\leq 0$, два решения при $0<m<1$, одно решение при $m=1$ и не даёт решений при $m>1$.
При $m=0$ первая часть даёт две точки, а вторая — одну точку, всего три точки. При $m=1$ первая часть даёт две точки, а вторая — одну точку, всего три точки.
$m=0$ или $m=1$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x\geq -2$ и $x<-2$ после раскрытия модуля.
Считать точку $(-2;0)$ принадлежащей обеим частям графика.
Не учитывать, что вершина второй параболы имеет координаты $(-3;1)$.
Ошибочно включать значение $m=4$ или значения $0<m<1$.