Шешімі: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+1, & x\ge -2,\\ -\dfrac{2}{x}, & x<-2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
Шешім по шагам
5 қадамПервая часть функции — парабола $y=(x+1)^2$, взятая при $x\ge -2$. Её вершина имеет координаты $(-1;0)$, а точка при $x=-2$ равна $(-2;1)$ и принадлежит графику.
$$y=(x+1)^2$$Вторая часть — ветвь гиперболы $y=-\dfrac{2}{x}$ при $x<-2$. При приближении к точке $x=-2$ слева значение $y$ стремится к $1$, но точка $(-2;1)$ для этой части не входит в график. Значения этой ветви лежат в интервале $0<y<1$.
$$0<y<1$$Для параболы уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид $(x+1)^2=m$. При $m<0$ решений нет; при $m=0$ имеется одна точка; при $0<m<1$ имеются две допустимые точки; при $m=1$ также две точки $x=-2$ и $x=0$; при $m>1$ допустима только правая точка параболы.
$$(x+1)^2=m$$Для гиперболы уравнение $-\dfrac{2}{x}=m$ имеет одну точку при $0<m<1$ и не имеет точек при $m\le 0$ или $m\ge 1$.
$$x=-\dfrac{2}{m}$$Итак, при $0<m<1$ всего три общие точки, поэтому эти значения не подходят. При $m=0$ имеется одна точка, а при $m\ge 1$ — одна точка при $m>1$ и две точки при $m=1$.
$$m=0\quad\text{или}\quad m\ge 1$$Прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки при $m=0$ или $m\ge 1$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают ветвь гиперболы при $x=-2$, хотя по условию требуется $x<-2$.
Забывают, что при $0<m<1$ парабола и гипербола вместе дают три общие точки.
Считают, что у ограниченной параболы при любом $m>0$ две точки.