Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}5x^2 - 0{,}5x)\cdot |x|}{x - 1}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
6 шаговОбласть определения исходной функции задаётся условием $x\ne 1$.
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$В числителе вынесем общий множитель $x-1$:
$$0{,}5x^2-0{,}5x=0{,}5x(x-1)$$При $x\ne 1$ сокращаем множитель $x-1$ и получаем:
$$y=0{,}5x|x|=\frac{x|x|}{2}$$Раскроем модуль. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ — $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-\dfrac{x^2}{2},&x<0,\\[4pt]\dfrac{x^2}{2},&x\geqslant 0,\end{cases}\quad x\ne 1$$График состоит из левой ветви параболы $y=-\dfrac{x^2}{2}$ при $x<0$ и правой ветви параболы $y=\dfrac{x^2}{2}$ при $x\geqslant 0$. Из-за ограничения $x\ne 1$ на правой ветви отсутствует точка $(1;\,0{,}5)$.
Значение $y=0{,}5$ достигается для функции $y=\dfrac{x^2}{2}$ только при $x=1$, но эта точка исключена из области определения. Все остальные значения функции достигаются хотя бы при одном допустимом $x$.
$m=0{,}5$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сокращают множитель $x-1$ и забывают исключить $x=1$ из области определения.
Считают точку $(1;\,0{,}5)$ принадлежащей графику.
Ошибочно полагают, что после сокращения исходная функция совпадает с $y=\dfrac{x|x|}{2}$ на всей числовой прямой.