20
Решение: Рациональное уравнение с дробью
ОГЭ · Математика · Задание 20 · Решение уравнений
ПовышеннаяФИПИ29978CРазвёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 6 шагов
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
6 шагов1
ОДЗ: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne1$.
$$x\ne1$$2
Введём замену $t=\dfrac{1}{x-1}$. Тогда $\dfrac{1}{(x-1)^2}=t^2$, и получаем квадратное уравнение.
$$t^2+2t-3=0$$3
Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём значения новой переменной.
$$(t-1)(t+3)=0,\quad t=1\ или\ t=-3$$4
При $t=1$ получаем первое значение $x$.
$$\dfrac{1}{x-1}=1\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2$$5
При $t=-3$ получаем второе значение $x$.
$$\dfrac{1}{x-1}=-3\Rightarrow x-1=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$$Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ, поэтому являются корнями исходного уравнения.
$$x\in\left\{\dfrac{2}{3};2\right\}$$Ответ
$x=\dfrac{2}{3}$ или $x=2$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указывают ОДЗ и допускают значение $x=1$.
При обратной замене неверно находят $x$.
Теряют один из корней квадратного уравнения относительно новой переменной.