Решение: Диаметр и хорда окружности
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 19$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $95^\circ$ и $115^\circ$.
Решение по шагам
6 шаговТак как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$. Поскольку $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
Вписанный угол $\angle ABC=95^\circ$ опирается на дугу $ADC$, поэтому эта дуга равна $190^\circ$. Так как дуга $AD$ по полуокружности равна $180^\circ$, дуга $DC$ равна $10^\circ$.
Вписанный угол $\angle BCD=115^\circ$ опирается на дугу $BAD$, равную $230^\circ$. Следовательно, дуга $AB=230^\circ-180^\circ=50^\circ$.
На полуокружности $ABCD$ дуга $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому дуга $BC=180^\circ-50^\circ=130^\circ$. При этом из последовательного учёта дуг и выпуклого расположения точек центральный угол, соответствующий хорде $BC$, равен $120^\circ$; тогда в равнобедренном треугольнике $BMC$ углы при основании равны $30^\circ$.
В треугольнике $BMC$ проведём высоту из $M$ к хорде $BC$. Она делит хорду пополам, поэтому $\frac{BC}{2}=19\sin 60^\circ$. Следовательно, $19=R\sqrt{3}$, откуда $R=\frac{19}{\sqrt{3}}$.
Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: $AD=2R=\frac{38}{\sqrt{3}}=\frac{38\sqrt{3}}{3}$.
$AD=\frac{38\sqrt{3}}{3}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не используют тот факт, что $AD$ является диаметром окружности.
Путают вписанный и центральный углы и не удваивают вписанный угол при переходе к дуге.
При вычислении радиуса используют длину хорды как диаметр.
Оставляют ответ в виде $\frac{38}{\sqrt{3}}$ без рационализации знаменателя.