Шешімі: Диаметр описанной окружности
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 14$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $110^\circ$ и $100^\circ$.
Шешім по шагам
6 қадамТак как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через $A$, $B$, $C$ и $D$. Поскольку $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
$$AD = 2R$$По теореме о вписанном угле угол $ABD$, опирающийся на диаметр $AD$, равен $90^\circ$. Поэтому угол $CBD$ равен разности углов $ABC$ и $ABD$.
$$\angle CBD = 110^\circ - 90^\circ = 20^\circ$$Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов $180^\circ$, поэтому угол $ADC$ равен $70^\circ$. В треугольнике $BCD$ угол $BDC$ равен $60^\circ$.
$$\angle BDC = 180^\circ - 20^\circ - 100^\circ = 60^\circ$$В треугольнике $ABD$ угол $ADB$ равен разности углов $ADC$ и $BDC$, а угол $ABD$ равен $90^\circ$.
$$\angle ADB = 70^\circ - 60^\circ = 10^\circ$$По теореме синусов в треугольнике $BCD$ найдём $BD$.
$$BD = \frac{BC\sin 100^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{14\sin 100^\circ}{\sin 60^\circ}$$В треугольнике $ABD$ по теореме синусов и с учётом равенства $\sin 100^\circ = \sin 80^\circ$ получаем длину диаметра $AD$.
$$AD = \frac{BD\sin 90^\circ}{\sin 80^\circ} = \frac{14\sin 100^\circ}{\sin 60^\circ\sin 80^\circ} = \frac{14}{\sin 60^\circ} = \frac{28}{\sqrt{3}} = \frac{28\sqrt{3}}{3}$$$AD = \dfrac{28\sqrt{3}}{3}$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают, что $M$ является центром окружности, а $AD$ — её диаметром.
Қате находят угол $CBD$, используя весь угол $B$ вместо разности с прямым углом.
Забывают, что в вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$.