Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса позволяет находить скорости тел после взаимодействия, даже если силы взаимодействия неизвестны. В задачах важно правильно выбрать систему тел, направление оси и различать сохранение импульса с сохранением механической энергии.
Основные понятия и условие сохранения
Перед решением полезно повторить определение импульса тела. Импульс — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость. Его направление совпадает с направлением скорости.
Импульс тела массой \(m\), движущегося со скоростью \(\vec v\), равен \(\vec p=m\vec v\). Единица импульса в СИ — \(\text{кг}\cdot\text{м/с}\).
Для нескольких тел рассматривают импульс системы тел — векторную сумму импульсов всех тел. Внешние силы могут изменить импульс системы, а внутренние силы действуют попарно и взаимно компенсируются. Поэтому нужно заранее определить, какие тела входят в систему и действуют ли на неё внешние силы.
Если равнодействующая внешних сил на замкнутую систему равна нулю или её импульсом можно пренебречь, полный импульс системы сохраняется: векторная сумма импульсов до взаимодействия равна векторной сумме импульсов после него.
Здесь \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) — скорости тел до взаимодействия, а \(\vec u_1\) и \(\vec u_2\) — после. Если движение происходит вдоль одной прямой, векторы заменяют алгебраическими величинами: выбирают положительное направление, а скорости в противоположную сторону записывают со знаком «минус».
Импульс и механическая энергия
Законы сохранения импульса и энергии отвечают на разные вопросы. Закон сохранения импульса связан с движением всей системы, а закон сохранения механической энергии — с переходом кинетической энергии в потенциальную и обратно при отсутствии потерь.
При соударении импульс замкнутой системы сохраняется, но кинетическая энергия может уменьшиться: часть энергии переходит во внутреннюю энергию, деформацию, звук и нагрев. Поэтому нельзя автоматически писать равенство кинетических энергий после любого столкновения.
При абсолютно упругом соударении сохраняются и импульс, и кинетическая энергия. При неупругом соударении сохраняется импульс, но кинетическая энергия не сохраняется. При абсолютно неупругом соударении тела после удара движутся вместе с общей скоростью.
- Импульс сохраняется при замкнутой системе независимо от вида столкновения.
- Кинетическая энергия сохраняется только для абсолютно упругого соударения.
- При слиянии тел после удара их конечные скорости одинаковы: \(u_1=u_2=u\).
- Если внешняя сила заметна, используют более общий закон изменения импульса через импульс силы.
Два тела движутся навстречу друг другу. Как записать скорость второго тела при выборе направления движения первого за положительное?
Алгоритм решения задач
- Выберите систему тел. Обычно это все тела, участвующие в столкновении или разлёте.
- Проверьте внешние силы. Если система замкнута на время взаимодействия, применяйте закон сохранения импульса.
- Выберите положительное направление оси. Все скорости вдоль оси запишите со знаками.
- Запишите импульс до и после взаимодействия.
- Подставьте известные величины в уравнение и найдите неизвестную.
- Проверьте размерность, знак и физический смысл ответа.
Если тела движутся не вдоль одной прямой, закон применяют отдельно к проекциям на оси координат. Такой случай разобран на странице о сохранении импульса в двумерном движении.
Разобранный пример: неупругое соударение
Тележка массой \(m_1=2\ \text{кг}\) движется со скоростью \(v_1=3\ \text{м/с}\) и догоняет неподвижную тележку массой \(m_2=1\ \text{кг}\). После столкновения тележки сцепляются. Найдите их общую скорость.
Это неупругое соударение: после удара тела движутся вместе. Внешним импульсом за короткое время удара пренебрегаем.
Кинетическая энергия до удара равна \(E_{k\,\text{до}}=\frac{2\cdot3^2}{2}=9\ \text{Дж}\), а после — \(E_{k\,\text{после}}=\frac{3\cdot2^2}{2}=6\ \text{Дж}\). Потеря \(3\ \text{Дж}\) не нарушает закон сохранения импульса: она перешла во внутреннюю энергию и деформацию.
Не складывайте модули скоростей, если тела движутся в разные стороны: используйте знаки. Не применяйте сохранение кинетической энергии к неупругому удару. Не включайте в систему только одно тело, если сила удара со стороны второго тела существенна. После сцепления не оставляйте разные конечные скорости: у тел одна общая скорость.
Разлёт, отдача и реактивное движение
Если изначально система покоится, её полный импульс равен нулю. После разлёта тела получают импульсы, равные по модулю и противоположные по направлению:
Отсюда при движении по одной прямой \(m_1v_1=-m_2v_2\). Чем меньше масса части системы, тем больше по модулю может быть её скорость. На этом основаны задачи на отдачу и реактивное движение.
При выстреле из пушки снаряд и орудие до выстрела покоятся. После выстрела их импульсы противоположны. Если задача описывает подъём груза, баллистический маятник или изменение высоты, закон сохранения импульса часто применяют только на коротком этапе удара, а затем используют закон сохранения энергии.
Для короткого столкновения сначала ищите сохранение импульса. Для движения после столкновения под действием тяжести — сохранение энергии. В комбинированных задачах эти законы применяются последовательно к разным этапам.
При более сложных ударах полезно различать упругое соударение, абсолютно упругое соударение и абсолютно неупругое соударение. Для нецентральных ударов отдельно учитывают направления импульсов и их проекции.
Быстрая проверка
Главное
- Импульс тела определяется формулой \(\vec p=m\vec v\) и является вектором.
- В замкнутой системе полный импульс до взаимодействия равен полному импульсу после него.
- При одномерном движении направления учитывают знаками скоростей.
- Импульс сохраняется при неупругом ударе, а кинетическая энергия — только при абсолютно упругом.
- В комбинированных задачах закон сохранения импульса применяют к столкновению, а закон сохранения энергии — к последующему движению.