Тапсырмалар № 20, 21 · ОГЭ

Закон сохранения энергии и импульса

Как понять, какие законы сохранения выбрать и совместно применить при взаимодействии тел

6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

При взаимодействии тел удобно рассматривать их как единую систему: тогда внутренние силы не изменяют полный импульс системы, а механическая энергия сохраняется только при отсутствии потерь на нагрев, деформацию и другие необратимые процессы. Главная задача — правильно определить систему, выбрать момент времени и понять, какой закон или их сочетание применимо.

Система тел и условия сохранения

Системой называют тела, движение и взаимодействие которых рассматривают совместно. Например, при столкновении двух тел системой обычно выбирают оба тела. Силы, с которыми тела действуют друг на друга, являются внутренними. Силы со стороны Земли, стены, нити или опоры могут быть внешними.

Импульс системы

Импульс системы равен векторной сумме импульсов всех её тел: \(\vec p_{\text{сист}}=\sum_i m_i\vec v_i\). Импульс тела — векторная величина, поэтому при записи закона сохранения нужно учитывать направления скоростей и выбрать положительную ось.

Закон сохранения импульса

Если равнодействующая внешних сил на систему равна нулю или её импульсом за рассматриваемый промежуток можно пренебречь, полный импульс системы сохраняется: векторная сумма импульсов до взаимодействия равна векторной сумме после него.

\[\vec p_{\text{до}}=\vec p_{\text{после}};\qquad \sum_i m_i\vec v_{i\,\text{до}}=\sum_i m_i\vec v_{i\,\text{после}}\]

В задачах на короткое столкновение внешние силы, например сила тяжести, часто имеют небольшой импульс по сравнению с импульсами взаимодействующих тел. Тогда можно применять закон сохранения импульса. Подробнее о выборе системы и роли внешних сил см. на странице закона сохранения импульса и на странице импульса системы и внешних сил.

\(p\)

импульс

кг·м/с

\(m\)

масса

кг

\(v\)

скорость

м/с

\(E_k\)

кинетическая энергия

Дж

\(E_p\)

потенциальная энергия

Дж

\(A\)

работа

Дж

Механическая энергия: когда она сохраняется

Механическая энергия системы складывается из кинетической энергии движения тел и потенциальной энергии их взаимодействия. Потенциальную энергию можно учитывать для консервативных сил: тяжести, упругости и некоторых других. Если в системе действуют только такие силы и работа внешних сил равна нулю, механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии

В замкнутой системе при отсутствии трения и неупругих деформаций сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна. Если есть потери, механическая энергия не сохраняется, но энергия в целом не исчезает: она переходит во внутреннюю энергию, звук и другие формы.

\[E_{\text{мех}}=E_k+E_p=\text{const}\]

\[E_k=\frac{mv^2}{2};\qquad E_{p,\,\text{тяж}}=mgh;\qquad E_{p,\,\text{упр}}=\frac{kx^2}{2}\]

Для системы тел кинетическая энергия равна сумме \(\frac{m_iv_i^2}{2}\) всех тел. Потенциальная энергия зависит от выбранного уровня отсчёта, но разность энергий между двумя состояниями от этого выбора не зависит. Связь кинетической энергии с работой и движение системы разобраны на странице механической энергии системы.

Не путайте два закона

Сохранение импульса не означает сохранение кинетической энергии. При неупругом столкновении импульс может сохраняться, а часть кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию. И наоборот, в задаче с внешним толчком импульс системы может измениться, хотя механическая энергия после прекращения толчка сохраняется.

Микро-проверка

Два тела слиплись после столкновения. Какой набор утверждений обычно верен для замкнутой системы?

Как выбирать и совмещать законы

Сначала определите, какие величины известны и неизвестны, затем выберите систему и запишите состояния «до» и «после». Для одномерного движения достаточно выбрать положительное направление. Скорость, направленная противоположно оси, записывается со знаком минус.

Определите систему тел и проверьте внешний импульс. Если он мал, запишите сохранение импульса.
Уточните характер взаимодействия: упругое, неупругое или слипание. При абсолютно неупругом столкновении тела после удара движутся с общей скоростью.
Проверьте наличие потерь механической энергии. При упругом столкновении кинетическая энергия сохраняется; при неупругом — нет.
Если тела перемещаются в поле тяжести или деформируют пружину без потерь, примените сохранение механической энергии между выбранными состояниями.
Если одного уравнения недостаточно, объедините законы: например, импульс — для столкновения, энергию — для последующего подъёма или падения.

Практический приём

Разделяйте сложный процесс на этапы. На коротком этапе столкновения применяйте закон сохранения импульса. На этапе движения после столкновения — закон сохранения энергии, если трение отсутствует. Не пытайтесь сохранять механическую энергию через момент неупругого удара.

Так решаются задачи о баллистическом маятнике: сначала пуля и маятник сталкиваются, а затем общая система поднимается. Этот тип задачи разобран на странице баллистического маятника. При столкновении нескольких тел аналогично составляют одно уравнение импульса для всех тел системы; см. столкновение трёх тел.

Разобранный пример: удар и подъём тела

№

Условие

Шар массой \(m_1=0{,}20\) кг движется со скоростью \(v_1=6\) м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой \(m_2=0{,}40\) кг. После удара шары слипаются. На какую максимальную высоту они поднимутся, если сопротивлением воздуха пренебречь? Принять \(g=10\) м/с².

Процесс состоит из двух этапов. Во время удара механическая энергия не сохраняется, поэтому используем только импульс. После удара общая масса движется вверх, и её кинетическая энергия переходит в потенциальную.

Запишем закон сохранения импульса для удара. Второй шар до столкновения покоится, а после удара оба тела имеют общую скорость \(u\).

\(\displaystyle m_1v_1+m_2\cdot 0=(m_1+m_2)u\)

Выразим скорость сразу после удара и подставим данные.

\(\displaystyle u=\frac{m_1v_1}{m_1+m_2}=\frac{0{,}20\cdot 6}{0{,}20+0{,}40}=2\ \text{м/с}\)

На втором этапе применим сохранение механической энергии: в верхней точке скорость равна нулю.

\(\displaystyle \frac{(m_1+m_2)u^2}{2}=(m_1+m_2)gh\)

Сократим общую массу и найдём высоту.

\(\displaystyle h=\frac{u^2}{2g}=\frac{2^2}{2\cdot10}=0{,}20\ \text{м}\)

Жауабы: общая система поднимется на \(0{,}20\) м над положением сразу после удара. Потеря кинетической энергии при слипании не является ошибкой: она превратилась во внутреннюю энергию шаров и окружающей среды.

Частые ошибки в таких задачах

1) Сразу приравнивать начальную кинетическую энергию к потенциальной, игнорируя неупругий удар. 2) Использовать \(m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v\) при разных скоростях тел после удара. 3) Складывать модули импульсов, не учитывая направления. 4) Сохранять импульс системы, на которую заметно действует внешний импульс, например сильный удар о неподвижную стену.

Особые случаи и проверка ответа

При упругом столкновении в замкнутой системе выполняются сразу два равенства: сохранение импульса и сохранение кинетической энергии. Это позволяет найти конечные скорости двух тел. При абсолютно неупругом столкновении тела после взаимодействия имеют одну скорость, а уравнение импульса обычно сразу даёт её значение.

\[m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\]

\[\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}=\frac{m_1u_1^2}{2}+\frac{m_2u_2^2}{2}\quad\text{(упругое столкновение)}\]

Проверяйте размерность и физический смысл результата: скорость должна иметь единицу м/с, высота — м, энергия — Дж. Если после неупругого столкновения получилась большая кинетическая энергия, чем до него, значит, нарушен знак скорости или неверно выбран закон. Для задач о скоростях после столкновения полезна страница коэффициента восстановления и скоростей, а для движения под действием струи — реактивной силы.

Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · импульс

Какое условие необходимо для сохранения импульса системы?

Главное за минуту

Главное

Импульс сохраняется, если внешний импульс системы равен нулю или им можно пренебречь.
Механическая энергия сохраняется при отсутствии потерь и работы неконсервативных сил.
При неупругом столкновении применяют сохранение импульса, но не сохранение кинетической энергии.
Сложный процесс разделяют на этапы: удар решают по импульсу, последующее движение — по энергии.
Всегда выбирайте систему, направление оси и состояния «до» и «после», а затем проверяйте единицы и физический смысл ответа.