ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 21, 22 · ЕГЭ

Импульс системы и внешние силы

Как внешние силы изменяют импульс системы тел и при каких условиях он сохраняется
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Импульс системы тел может изменяться из-за действия внешних сил. Главный инструмент решения задач — теорема об изменении импульса: изменение полного импульса системы равно импульсу равнодействующей внешних сил. Если внешний импульс равен нулю, полный импульс системы сохраняется.

Импульс системы и внешние силы

Внешние силы системы — силы, действующие на выбранную систему со стороны тел, которые в неё не входят. Силы взаимодействия между телами самой системы называют внутренними. Например, если системой являются два столкнувшихся шара, сила первого шара на второй и сила второго шара на первый — внутренние силы. Сила трения шара о дорогу, сила тяжести со стороны Земли или сила натяжения нити, закреплённой вне системы, могут быть внешними.

Импульс отдельного тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость. Полный импульс системы равен векторной сумме импульсов всех тел системы. Поэтому направления скоростей нужно учитывать знаками или проекциями на выбранную ось.

\[\vec p = m\vec v\]
\[\vec P = \sum_{i=1}^{n}\vec p_i = \sum_{i=1}^{n}m_i\vec v_i\]
\(p\)
импульс тела
кг·м/с
\(P\)
импульс системы
кг·м/с
\(F\)
сила
Н
\(J\)
импульс силы
Н·с
D
Система тел

Система тел — выбранная совокупность тел, движение которой рассматривают совместно. Границы системы выбирает решающий задачу. От этого зависит, какие силы будут внутренними, а какие — внешними.

Теорема об изменении импульса системы

Для каждого тела по второму закону Ньютона изменение импульса определяется действующей силой. При сложении уравнений для всех тел системы внутренние силы попарно уничтожаются по третьему закону Ньютона: они равны по модулю и противоположны по направлению. В результате остаётся только сумма внешних сил.

\[\frac{d\vec P}{dt}=\vec F_{\text{внеш}}\]

Для постоянной равнодействующей внешних сил за промежуток времени \(\Delta t\) получаем теорему в конечной форме:

\[\Delta\vec P=\vec P_2-\vec P_1=\vec F_{\text{внеш}}\Delta t\]1

Если внешняя сила меняется, вместо произведения силы на время используют импульс силы — площадь под графиком зависимости проекции силы от времени. В общем случае:

\[\Delta\vec P=\vec J_{\text{внеш}}=\int_{t_1}^{t_2}\vec F_{\text{внеш}}(t)\,dt\]
T
Теорема об изменении импульса системы

Изменение полного импульса системы за некоторый промежуток времени равно импульсу равнодействующей внешних сил за этот промежуток: \(\Delta\vec P=\vec J_{\text{внеш}}\).

В задачах с прямолинейным движением удобно перейти к проекциям. Если ось \(Ox\) направлена вправо, то движение влево имеет отрицательную скорость и отрицательный импульс. Для одной оси теорема записывается так:

\[P_{x2}-P_{x1}=F_{\text{внеш},x}\Delta t\]
Микро-проверка

Два тела входят в систему. Внутренние силы между ними действуют в течение 0,2 с. Изменится ли полный импульс системы только из-за этих сил?

Закон сохранения импульса

Если сумма внешних сил равна нулю или её импульсом за рассматриваемое время можно пренебречь, то \(\Delta\vec P=0\). Следовательно, полный импульс системы до взаимодействия равен полному импульсу после него. Это и есть закон сохранения импульса.

\[\vec P_1=\vec P_2\]2
\[\sum_i m_i\vec v_{i\,\text{до}}=\sum_i m_i\vec v_{i\,\text{после}}\]
T
Закон сохранения импульса

В замкнутой системе, то есть системе, на которую не действуют внешние силы или действие которых скомпенсировано, векторная сумма импульсов тел остаётся постоянной.

Замкнутость всегда относится к выбранному интервалу времени и выбранной системе. Например, при столкновении шаров на гладкой горизонтальной поверхности горизонтальный импульс внешних сил мал, поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса. При этом вертикальные силы тяжести и реакции опоры не обязаны исчезать, но они компенсируют друг друга по вертикали.

Закон сохранения импульса особенно полезен при кратковременных взаимодействиях: столкновениях, выстреле, отдаче, разрыве, прыжке с лодки. Он не требует знания силы взаимодействия и времени её действия. Если одновременно нужно найти скорости или высоту, может понадобиться закон сохранения энергии и импульса.

Условие сохранения

Сохраняется не «импульс каждого тела», а полный векторный импульс выбранной системы. Условие: \(\vec J_{\text{внеш}}=0\) или \(|\vec J_{\text{внеш}}|\) пренебрежимо мало.

Как решать задачи

  1. Выберите систему тел. Включите в неё все тела, чьё взаимодействие хотите рассмотреть.
  2. Укажите момент «до» и момент «после» взаимодействия.
  3. Выберите положительное направление оси и запишите скорости с учётом знаков.
  4. Проверьте внешние силы. Решите, можно ли считать систему замкнутой в нужной проекции.
  5. Запишите закон сохранения импульса или теорему об изменении импульса в проекциях.
  6. Подставьте известные величины, решите уравнение и проверьте единицы и знак ответа.

Для системы из двух тел при неупругом столкновении, после которого тела движутся вместе, уравнение имеет вид:

\[m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)u\]

В этом процессе импульс сохраняется, но механическая энергия обычно уменьшается: часть энергии переходит во внутреннюю энергию, деформацию и звук. Поэтому нельзя автоматически приравнивать кинетическую энергию до и после столкновения.

Разобранный пример: столкновение тел

№
Задача

Тележка массой \(m_1=2\ \text{кг}\) движется вправо со скоростью \(v_1=3\ \text{м/с}\). Она догоняет неподвижную тележку массой \(m_2=1\ \text{кг}\) и сцепляется с ней. Найдите скорость тележек после столкновения. Трением пренебречь.

1
Выбираем систему из двух тележек. Внешний горизонтальный импульс пренебрежимо мал, поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса.
\(\displaystyle P_{x\,\text{до}}=P_{x\,\text{после}}\)
2
Направление вправо принимаем за положительное. Вторая тележка покоится, поэтому её скорость равна нулю.
\(\displaystyle m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)u\)
3
Подставляем данные и выражаем общую скорость после сцепления.
\(\displaystyle 2\cdot3+1\cdot0=(2+1)u\)
4
Вычисляем результат. Положительный знак означает движение вправо.
\(\displaystyle u=\frac{6}{3}=2\ \text{м/с}\)

Ответ: после столкновения обе тележки движутся вправо со скоростью \(2\ \text{м/с}\). Проверка: импульс до столкновения равен \(6\ \text{кг·м/с}\), после — \(3\cdot2=6\ \text{кг·м/с}\).

Если бы в условии спрашивали потерю кинетической энергии, одного закона сохранения импульса было бы недостаточно: нужно было бы отдельно вычислить кинетическую энергию до и после. В задачах о баллистическом маятнике применяют тот же подход: сначала используют сохранение импульса при ударе, а затем — сохранение механической энергии на последующем подъёме.

Импульс силы и график силы

Импульс силы показывает, насколько изменился импульс тела или системы. При постоянной силе он равен произведению силы на время действия. При переменной силе импульс равен площади под графиком \(F(t)\) с учётом знака.

\[J=F\Delta t\]
0.511.522.533.544.5533.23.43.63.844.24.44.64.85t, сF, НF = 4 Н
Для постоянной силы импульс равен площади прямоугольника под графиком: \(J=F\Delta t\).

Большая сила, действующая короткое время, может иметь такой же импульс, как меньшая сила, действующая дольше. Поэтому при ударе мягкая деформация увеличивает время взаимодействия и уменьшает среднюю силу при том же изменении импульса. Этот принцип используется в ремнях безопасности и защитных шлемах.

!
Частые ошибки

1. Складывать модули импульсов вместо векторной суммы. 2. Считать внутреннюю силу внешней после неверного выбора системы. 3. Применять сохранение полного импульса, когда внешний импульс заметен. 4. Забывать знак скорости, если тела движутся навстречу. 5. Путать закон сохранения импульса с законом сохранения кинетической энергии: при неупругом столкновении энергия движения не сохраняется.

Связь с движением центра масс

Импульс системы связан со скоростью её центра масс: \(\vec P=M\vec v_{\text{ц.м.}}\), где \(M\) — масса системы. Поэтому при нулевой равнодействующей внешних сил центр масс движется равномерно и прямолинейно или покоится. Внутренние взрывы и столкновения могут изменить скорости отдельных частей, но не нарушают это движение.

Для ракет и других тел с изменяющейся массой важно учитывать обмен импульсом между телом и выбрасываемым веществом. Это приводит к реактивному движению; подробнее см. реактивную силу. При движении космических аппаратов также нужно правильно выбрать систему и учитывать действие гравитационного поля.

Q
Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · условие закона
Какое условие необходимо для сохранения полного импульса системы?
Главное за минуту

Главное

  • Полный импульс системы — векторная сумма импульсов всех её тел: \(\vec P=\sum m_i\vec v_i\).
  • Изменение импульса системы равно импульсу равнодействующей внешних сил: \(\Delta\vec P=\vec J_{\text{внеш}}\).
  • Если внешний импульс равен нулю, полный импульс системы сохраняется.
  • При решении задач сначала выбирают систему, затем ось, проверяют внешние силы и записывают уравнение в проекциях.
  • Сохранение импульса не означает сохранение кинетической или механической энергии при неупругом взаимодействии.