Столкновение трёх тел
Столкновение трёх тел удобно решать как цепочку простых столкновений или как одну задачу для замкнутой системы. Главные инструменты — закон сохранения импульса, условия последовательности ударов и связь потери механической энергии с количеством теплоты.
Модель столкновения и основные величины
Столкновением называют кратковременное взаимодействие тел, при котором силы взаимодействия очень велики, а внешним импульсом за время удара можно пренебречь. Поэтому для системы сталкивающихся тел сохраняется полный импульс. Перед решением выберите положительное направление оси и все скорости запишите со знаками: движение против оси имеет отрицательную скорость.
Импульс тела — векторная величина \(\vec p=m\vec v\). Импульс системы равен векторной сумме импульсов всех тел: \(\vec P=\sum m_i\vec v_i\).
Если внешним импульсом сил за время удара можно пренебречь, то полный импульс до столкновения равен полному импульсу после него: \(\sum m_i\vec v_{i\,\text{до}}=\sum m_i\vec v_{i\,\text{после}}\).
Для движения вдоль одной прямой векторное равенство превращается в алгебраическое. Например, если тела массами \(m_1\), \(m_2\) и \(m_3\) имеют скорости \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\), то до столкновения \(P=m_1v_1+m_2v_2+m_3v_3\).
Последовательные столкновения
Последовательное столкновение происходит, когда сначала встречаются два тела, а затем результат этого удара участвует в следующем. Нельзя использовать скорости из исходного условия на всех этапах: после первого удара нужно найти новые скорости и только затем рассматривать второе столкновение.
- Нарисуйте ось и укажите начальные скорости всех тел.
- Запишите закон сохранения импульса для первого столкновения.
- Если удар неупругий, используйте общую скорость слипшихся тел или условие, данное в задаче.
- Получите скорости после первого этапа и подставьте их в уравнение второго столкновения.
- Проверьте знаки скоростей и единицы измерения.
Если два тела после удара движутся вместе с одной скоростью \(u\), то \(m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)u\).
Для трёх тел, последовательно слипающихся попарно, сначала объединяют первые два тела, затем рассматривают их как одно тело массой \(m_1+m_2\). Такой приём работает только тогда, когда столкновение действительно завершилось до начала следующего.
Одновременное столкновение трёх тел
Если три тела взаимодействуют в один и тот же короткий промежуток времени, нельзя автоматически разбивать процесс на два удара. Записывают один закон сохранения импульса для всей системы. Дополнительное уравнение зависит от характера столкновения: например, тела могут после удара иметь общую скорость, или известен коэффициент восстановления.
Одновременным считают столкновение, при котором нельзя выделить отдельные этапы с промежутком времени между ними. В этом случае рассматривают систему из всех трёх тел сразу.
При полном слипании трёх тел конечная скорость определяется непосредственно:
Если столкновение упругое, одного закона сохранения импульса недостаточно: нужно добавить закон сохранения кинетической энергии. В задачах с двумя последовательными ударами иногда удобнее применять коэффициент восстановления и скорости, связывающий относительные скорости тел до и после удара.
Тележка массой \(2\ кг\) движется со скоростью \(3\ м/с\) и слипается с неподвижной тележкой массой $1\ кг. Какова их общая скорость?
Потеря энергии и количество теплоты
Импульс сохраняется и при неупругом ударе, но кинетическая энергия обычно уменьшается. Разность начальной и конечной кинетических энергий переходит во внутреннюю энергию тел: деформацию, нагрев, звук. Подробнее о таком превращении см. внутренняя энергия при неупругом соударении.
Если после столкновения тела движутся с общей скоростью \(u\), количество энергии, перешедшей во внутреннюю энергию, равно потере кинетической энергии системы.
Последняя формула особенно удобна для двух слипшихся тел. Она показывает: количество теплоты не зависит от скорости выбранной системы отсчёта, а определяется относительной скоростью тел. Для трёх тел сначала находят начальную и конечную кинетические энергии всей системы, а затем используют \(Q=E_{k\,\text{до}}-E_{k\,\text{после}}\).
Разобранный пример: два последовательных удара
Тележка массой \(m_1=1\ кг\) движется вправо со скоростью \(v_1=6\ м/с\) и сталкивается с неподвижной тележкой массой \(m_2=2\ кг\). После слипания они сталкиваются с неподвижной тележкой массой \(m_3=3\ кг\) и также слипаются. Найдите конечную скорость системы и количество теплоты, выделившееся при обоих ударах.
Можно проверить результат по импульсу всей системы: до столкновений \(P=1\cdot6=6\ кг\cdotм/с\), после \(P=6\cdot1=6\ кг\cdotм/с\). Для двух этапов количество теплоты можно также сложить: \(Q=Q_1+Q_2\).
Алгоритм и частые ошибки
- Определить, столкновения последовательные или одновременные.
- Выбрать ось и расставить знаки скоростей.
- Записать закон сохранения импульса для нужной системы.
- Для каждого неупругого этапа отдельно найти потерю кинетической энергии.
- Округлить ответ только в самом конце.
1. Сохраняют кинетическую энергию при слипании тел. 2. Складывают модули импульсов, не учитывая направления. 3. Для второго удара используют исходную скорость первого тела вместо скорости блока после первого удара. 4. Подставляют в формулу \(Q\) конечную энергию только одного тела, забывая остальные. 5. Путают количество теплоты \(Q\) с работой внешней силы: в задаче о замкнутой системе \(Q\) — это уменьшение суммарной кинетической энергии.
Если все тела после удара слиплись, конечная скорость должна лежать между наименьшей и наибольшей начальными скоростями. Если одно тело было неподвижно, модуль конечной скорости обычно меньше скорости движущегося тела.
Проверь себя
Главное
- При ударе замкнутой системы сохраняется полный импульс, а скорости нужно записывать со знаками.
- Последовательные столкновения решают по этапам: результат первого удара становится начальным условием второго.
- При одновременном столкновении рассматривают все три тела одной системой.
- При полном слипании конечная скорость равна отношению полного импульса к суммарной массе.
- Количество теплоты при неупругом столкновении равно уменьшению суммарной кинетической энергии: \(Q=E_{k\,\text{до}}-E_{k\,\text{после}}\).