Реактивное движение
Реактивное движение возникает, когда тело изменяет свою скорость благодаря отделению от него части массы. Главный инструмент решения таких задач — закон сохранения импульса, применённый к телу и выброшенному веществу как к одной системе.
Что такое реактивное движение
Реактивное движение — это движение тела, возникающее при отделении от него некоторой массы с определённой скоростью. Тело получает импульс, противоположный по направлению импульсу выброшенного вещества.
Примеры: движение ракеты при выбросе газов, отдача оружия, движение воздушного шарика после выпуска воздуха, перемещение тележки при сбрасывании груза. В каждом случае сначала рассматривают замкнутую систему: тело плюс отделившаяся масса.
Если внешние силы на коротком промежутке времени можно не учитывать, полный импульс системы сохраняется: сумма импульсов тела и выброшенного вещества до взаимодействия равна сумме импульсов после взаимодействия.
Импульс — векторная величина, поэтому при решении важно выбрать положительное направление оси и учитывать знаки скоростей. Если внешние силы отсутствуют или их импульсом можно пренебречь, используется импульс системы тел:
Ракета и выброс массы
Пусть ракета массой \(M\) движется со скоростью \(v\). За небольшой промежуток времени она выбрасывает массу \(\Delta m\) со скоростью \(u\) относительно ракеты. После выброса масса ракеты равна \(M-\Delta m\), а её скорость становится \(v+\Delta v\).
Если скорость выброшенных газов относительно Земли обозначить \(v_\text{г}\), то при движении ракеты вправо газы летят влево, и обычно \(v_\text{г}<0\). При малом выбросе массы закон сохранения импульса записывают так:
В задачах часто дана скорость \(u\) выброса относительно ракеты. Тогда приращение скорости ракеты удобно находить через относительную скорость. Если газ выбрасывается назад, то приблизительно \(v_\text{г}=v-u\), когда \(u\) направлена от ракеты назад.
Если до выброса ракета покоилась, а масса \(m\) отделяется со скоростью \(u\) относительно ракеты, то скорость ракеты после выброса по модулю равна \(V=\frac{m u}{M}\), где \(M\) — масса ракеты после выброса.
Эта формула получается из закона сохранения импульса для первоначально неподвижной системы. Если выброшенная масса движется в отрицательном направлении, скорость ракеты оказывается положительной.
Разобранный пример: тележка с грузом
Тележка массой \(M=4\) кг покоится на гладкой горизонтальной поверхности. Из неё горизонтально назад выбрасывают груз массой \(m=1\) кг со скоростью \(u=6\) м/с относительно тележки. Найдите скорость тележки.
Поверхность гладкая, поэтому горизонтальный импульс внешних сил равен нулю. Системой считаем тележку и груз. Направление движения тележки принимаем за положительное.
Показать решение Решение
Ответ: скорость тележки равна \(1{,}5\) м/с и направлена противоположно движению груза.
Ракета выбросила газ назад. Куда направлен импульс ракеты после выброса?
Струя вещества и реактивная сила
Если вещество выбрасывается непрерывно, ракета получает импульс не один раз, а постоянно. Изменение импульса за единицу времени связано с реактивной силой. При расходе массы \(\frac{dm}{dt}\) и скорости истечения газов \(u\) её модуль в простейшей модели равен:
Здесь \(\frac{dm}{dt}\) — скорость изменения массы ракеты. Поскольку масса ракеты уменьшается, производная \(\frac{dm}{dt}\) отрицательна; поэтому для модуля силы используют абсолютное значение. Если на ракету действуют сила тяжести и сила сопротивления среды, движение определяется уже не только реактивной силой.
Тяга — сила, с которой струя выбрасываемого вещества действует на ракету. Она направлена противоположно движению струи и может разгонять ракету даже в безвоздушном пространстве.
Для реальной ракеты скорость постепенно меняется, потому что уменьшается её масса. В идеализированной задаче без внешних сил итоговое изменение скорости описывается формулой Циолковского:
Здесь \(M_0\) — начальная масса ракеты, \(M_1\) — масса после расходования топлива, \(u\) — постоянная скорость истечения газов относительно ракеты. На школьном уровне чаще требуется не вывод этой формулы, а применение закона сохранения импульса к одному выбросу массы.
Как решать задачи и не ошибаться
- Определите систему: обычно это тело вместе с выброшенным веществом.
- Выберите положительное направление оси и укажите знаки всех скоростей.
- Проверьте, можно ли пренебречь внешними силами или их импульсом.
- Запишите импульс системы до и после выброса.
- Приравняйте импульсы, раскройте скобки и выразите неизвестную величину.
- Проверьте единицы измерения и направление полученной скорости.
1. Считают скорость газа относительно Земли равной скорости истечения \(u\), хотя в условии дана скорость относительно ракеты. 2. Забывают знак минус у скорости газа, летящего в противоположную сторону. 3. Берут в формуле для ракеты начальную массу вместо массы ракеты после выброса. 4. Применяют сохранение импульса, не учитывая заметную силу трения или сопротивления. 5. Сохраняют только «импульс ракеты», хотя закон относится ко всей выбранной системе.
Если система до выброса покоилась, после решения импульсы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению: \(MV=mu\). Если масса выброшенного тела или его скорость увеличивается, скорость ракеты также должна увеличиваться.
Быстрая проверка
Главное
- Реактивное движение возникает при отделении части массы от тела.
- Для замкнутой системы сохраняется полный векторный импульс: \(\vec p_{\text{до}}=\vec p_{\text{после}}\).
- При выбросе массы назад ракета получает импульс и скорость вперёд.
- В задачах необходимо учитывать относительные скорости и знаки направлений.
- При непрерывном истечении газов тяга определяется скоростью истечения и расходом массы.