Закон сохранения импульса в двумерном движении
В двумерной задаче тела движутся не вдоль одной прямой: после столкновения они могут разлететься под углами. Поэтому закон сохранения импульса записывают отдельно для двух взаимно перпендикулярных осей, обычно \(Ox\) и \(Oy\). Главная идея проста: в замкнутой системе сохраняются векторный импульс и, при выполнении специальных условий, механическая энергия.
Импульс как вектор
Закон сохранения импульса применяют к системе тел, если внешние силы отсутствуют или их импульсом за время взаимодействия можно пренебречь. Импульс тела равен произведению массы на скорость. Поскольку скорость имеет направление, импульс — векторная величина.
Импульс тела: \(\vec p=m\vec v\), где \(m\) — масса тела, а \(\vec v\) — его скорость. Единица импульса в СИ — \(\text{кг}\cdot\text{м/с}\).
В двумерной системе координат вектор импульса раскладывают на составляющие. Если тело движется со скоростью \(v\) под углом \(\alpha\) к положительному направлению оси \(Ox\), то его проекции имеют знаки, зависящие от направления движения.
Закон сохранения импульса по двум осям
В замкнутой системе векторная сумма импульсов до взаимодействия равна векторной сумме импульсов после него. Это равенство заменяют двумя скалярными уравнениями: отдельно для оси \(Ox\) и отдельно для оси \(Oy\).
Перед записью уравнений выберите положительные направления осей и нанесите скорости всех тел. Проекция, направленная против положительной оси, берётся со знаком «минус». Если тело покоится, его импульс равен нулю.
- Выберите систему тел и убедитесь, что внешним импульсом можно пренебречь.
- Проведите оси \(Ox\) и \(Oy\).
- Разложите каждую скорость на проекции.
- Запишите закон сохранения импульса по каждой оси.
- Решите полученную систему уравнений и проверьте единицы.
Разложение силы и разложение скорости выполняются по одной геометрической идее: катеты прямоугольного треугольника получают через синус и косинус. Угол всегда нужно отсчитывать от той оси, относительно которой используется косинус.
Если один из известных импульсов направлен горизонтально, направьте вдоль него ось \(Ox\). Тогда его вертикальная проекция равна нулю, а одно из уравнений заметно упрощается.
Импульс и энергия: что сохраняется
Закон сохранения импульса выполняется для замкнутой системы при любом типе столкновения. С кинетической энергией иначе: она сохраняется только при абсолютно упругом столкновении. При неупругом взаимодействии часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию, деформацию, звук или нагрев.
Для любой замкнутой системы: \(\sum\vec p_{\text{до}}=\sum\vec p_{\text{после}}\). Для абсолютно упругого столкновения дополнительно: \(\sum E_{k\,\text{до}}=\sum E_{k\,\text{после}}\). Если тела после удара движутся вместе, столкновение абсолютно неупругое, и кинетическая энергия обычно не сохраняется.
При решении тапсырма сначала выясните, что именно требуется найти и какой вид столкновения описан. Для абсолютно неупругого столкновения в двумерном случае после удара у тел общая скорость, но импульс всё равно нужно сохранять по двум координатам.
Тело движется со скоростью \(v\) под углом \(30^\circ\) к оси \(Ox\). Чему равна его проекция импульса на ось \(Oy\)?
Разобранный пример: разлёт после столкновения
Тележка массой \(m_1=2\,\text{кг}\) движется вправо со скоростью \(v_1=3\,\text{м/с}\). Она сталкивается с покоящейся тележкой массой \(m_2=1\,\text{кг}\). После столкновения первая тележка движется со скоростью \(u_1=1\,\text{м/с}\) под углом \(60^\circ\) к оси \(Ox\), а вторая — со скоростью \(u_2\) под углом \(\beta\) ниже оси \(Ox\). Найдём \(u_2\) и \(\beta\). Внешним импульсом пренебречь.
До столкновения общий импульс направлен вдоль \(Ox\): \(p_{x\,\text{до}}=m_1v_1\), \(p_{y\,\text{до}}=0\). После столкновения импульсы должны дать тот же вектор.
Жауабы: вторая тележка движется со скоростью примерно \(5{,}29\,\text{м/с}\) под углом \(19{,}1^\circ\) ниже оси \(Ox\). Важно: скорость получилась больше исходной скорости первой тележки, но это не означает автоматически нарушение закона сохранения импульса. Для проверки энергии нужно знать, является ли столкновение упругим.
Частые ошибки и проверка ответа
1. Сохраняют только модули импульсов и забывают, что импульс — вектор. 2. Ставят одинаковые знаки у вертикальных проекций тел, движущихся в разные стороны. 3. Путают \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\). 4. Принимают сохранение импульса за сохранение кинетической энергии. 5. Используют закон сохранения импульса для одного тела, хотя взаимодействуют два или больше тел. 6. Не переводят граммы и километры в секунду в единицы СИ.
Для контроля результата сравните направления: сумма конечных импульсов должна совпадать с начальным вектором. Если до столкновения вертикального импульса не было, вертикальные конечные компоненты обязаны взаимно компенсироваться. Это особенно полезно в задачах, где тела разлетаются симметрично.
Сначала рисунок и знаки проекций, затем два уравнения импульса. Закон сохранения энергии добавляйте только тогда, когда столкновение абсолютно упругое или это прямо следует из условия.
Связь с другими задачами механики
После освоения проекций проще решать тапсырма о нецентральном столкновении, где тела движутся под углами, и тапсырма на импульс до и после столкновения. Если в условии действуют заметные внешние силы, например сила тяжести за длительное время, нужно оценить их импульс и понять, можно ли считать систему замкнутой. Для энергии полезно повторить кинетическую энергию системы.
Быстрая проверка
Главное
- Импульс — вектор: \(\vec p=m\vec v\).
- В двумерной есепке закон сохранения импульса записывают отдельно по \(Ox\) и \(Oy\).
- Знаки проекций определяются выбранными направлениями осей.
- Импульс сохраняется в замкнутой системе, а кинетическая энергия — только при абсолютно упругом столкновении.
- Надёжный алгоритм: рисунок, оси, проекции, два уравнения, Шешім и проверка направлений и единиц.