Задания № 28, 29 · ЕГЭ

Абсолютно неупругое столкновение в двумерном случае

Как применять закон сохранения импульса, если после удара тела движутся вместе под углом

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Абсолютно неупругое столкновение — это удар, после которого тела соединяются и дальше движутся как одно целое. В двумерной задаче их общая скорость может быть направлена под углом к первоначальным скоростям, поэтому закон сохранения импульса нужно записывать отдельно для двух взаимно перпендикулярных осей.

Определение и основной закон

Абсолютно неупругое соударение — предельный вид удара, при котором после взаимодействия тела движутся с одной и той же скоростью \(\vec V\). Они могут сцепиться, слипнуться или просто продолжить совместное движение. Механическая энергия при этом обычно уменьшается, но полный импульс замкнутой системы сохраняется.

Абсолютно неупругое столкновение

После удара скорости тел одинаковы: \(\vec v_1'=\vec v_2'=\vec V\). Масса движущегося тела после удара равна \(m_1+m_2\).

Закон сохранения импульса

Если внешним импульсом сил за время удара можно пренебречь, векторная сумма импульсов до столкновения равна векторной сумме импульсов после него: \(\vec p_{\text{до}}=\vec p_{\text{после}}\).

\[m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=(m_1+m_2)\vec V\]1

Векторное равенство нельзя заменять сложением только модулей: направления скоростей имеют такое же значение, как и их численные значения. Перед решением удобно прочитать закон сохранения импульса в двумерном движении.

\(m\)

масса

кг

\(v, V\)

скорость

м/с

\(p\)

импульс

кг·м/с

\(α, β, θ\)

угол

рад или °

Разложение импульса по осям

Выберем ось \(Ox\) горизонтально, а ось \(Oy\) вертикально. Если тело движется под углом \(α\) к положительному направлению оси \(Ox\), то его скорость имеет компоненты \(v_x=v\cos α\) и \(v_y=v\sin α\). Знак компоненты определяется направлением движения: влево или вниз соответствующая проекция отрицательна.

Скорость \(\vec v\) и её проекции на оси координат.

\[\begin{cases}m_1v_{1x}+m_2v_{2x}=(m_1+m_2)V_x,\\m_1v_{1y}+m_2v_{2y}=(m_1+m_2)V_y.\end{cases}\]2

После нахождения \(V_x\) и \(V_y\) модуль и направление общей скорости вычисляют так:

\[V=\sqrt{V_x^2+V_y^2},\qquad \tan\theta=\frac{V_y}{V_x}.\]3

Удобный выбор осей

Если одна из скоростей направлена горизонтально, направьте ось \(Ox\) вдоль неё. Тогда у этого тела вертикальная проекция равна нулю, и уравнения становятся короче.

Алгоритм решения задачи

Сделайте схему и укажите направления скоростей до удара и общей скорости после него.
Выберите оси координат и запишите проекции всех скоростей с учётом знаков.
Составьте два уравнения закона сохранения импульса: для \(Ox\) и для \(Oy\).
Найдите \(V_x\) и \(V_y\), затем модуль \(V\) и угол \(θ\).
Проверьте единицы, направление и физический смысл результата.

Микро-проверка

Два тела после удара движутся вместе. Как записать импульс системы после столкновения?

Разобранный пример

Тележка массой \(m_1=2\ кг\) движется со скоростью \(v_1=3\ м/с\) вправо. На неё налетает тележка массой \(m_2=1\ кг\) со скоростью \(v_2=4\ м/с\) вверх. После столкновения тележки сцепляются. Найдём скорость общего движения.

№

Дано

Направим \(Ox\) вправо, а \(Oy\) вверх. Тогда \(v_{1x}=3\ м/с\), \(v_{1y}=0\), \(v_{2x}=0\), \(v_{2y}=4\ м/с\).

Записываем сохранение импульса по оси \(Ox\).

\(\displaystyle m_1v_{1x}+m_2v_{2x}=(m_1+m_2)V_x\)

Подставляем данные и находим горизонтальную компоненту общей скорости.

\(\displaystyle 2\cdot3+1\cdot0=3V_x\quad\Rightarrow\quad V_x=2\ м/с\)

Записываем сохранение импульса по оси \(Oy\).

\(\displaystyle m_1v_{1y}+m_2v_{2y}=(m_1+m_2)V_y\)

Подставляем данные и находим вертикальную компоненту.

\(\displaystyle 2\cdot0+1\cdot4=3V_y\quad\Rightarrow\quad V_y=\frac{4}{3}\ м/с\)

Находим модуль общей скорости.

\(\displaystyle V=\sqrt{2^2+\left(\frac43\right)^2}=\frac{\sqrt{52}}{3}\approx2{,}40\ м/с\)

Находим угол к горизонтали.

\(\displaystyle \tan\theta=\frac{V_y}{V_x}=\frac{4/3}{2}=\frac23\quad\Rightarrow\quad\theta\approx34^\circ\)

Ответ: после удара тележки движутся вместе со скоростью примерно \(2{,}40\ м/с\) под углом \(34^\circ\) к направлению движения первой тележки.

\[\boxed{V\approx2{,}40\ \text{м/с},\quad \theta\approx34^\circ}\]4

Заметим, что кинетическая энергия не сохранилась. Её изменение можно рассчитать по материалу о потере энергии при столкновении, но для нахождения скорости достаточно закона сохранения импульса.

Частные случаи и проверка ответа

Если тела движутся навстречу друг другу по одной прямой, это фактически одномерный случай: одной из скоростей присваивают отрицательный знак. Если импульсы тел до удара взаимно компенсируются, то \(\vec V=0\): сцепившиеся тела остановятся. Если одно тело покоится, его скорость до столкновения равна нулю, но его масса всё равно входит в сумму \(m_1+m_2\).

Частые ошибки

1. Складывать модули импульсов вместо векторов. 2. Забывать, что после удара масса равна \(m_1+m_2\). 3. Терять минус у проекции тела, движущегося влево или вниз. 4. Использовать закон сохранения кинетической энергии: при абсолютно неупругом ударе он, как правило, не выполняется. 5. Находить угол как \(\arctan(V_x/V_y)\) вместо \(\arctan(V_y/V_x)\) при отсчёте от оси \(Ox\).

Формула для произвольных направлений

Если скорости заданы углами \(α\) и \(β\) к оси \(Ox\), сначала используйте \(v_{ix}=v_i\cos α_i\) и \(v_{iy}=v_i\sin α_i\), а затем применяйте два уравнения проекций. Это надёжнее, чем пытаться сразу работать с углами.

При нецентральном ударе направление общего движения определяется результирующим импульсом; полезное продолжение темы — импульс при нецентральном столкновении. Связь с движением системы в целом рассматривается также в теме центр масс при соударении.

Quick-test

Быстрый тест по теме

Проверьте себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · основной закон

Какая величина сохраняется при столкновении замкнутой системы?

Главное за минуту

Главное

При абсолютно неупругом столкновении тела после удара движутся вместе с общей скоростью \(\vec V\).
Основное уравнение: \(m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=(m_1+m_2)\vec V\).
В двумерной задаче закон сохранения импульса записывают отдельно по осям \(Ox\) и \(Oy\).
После нахождения \(V_x\) и \(V_y\) используют \(V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}\) и \(\tan\theta=V_y/V_x\).
Кинетическая энергия при таком ударе обычно не сохраняется, поэтому не следует приравнивать энергии до и после столкновения.