Тапсырмалар № 28, 29 · ЕГЭ

Расчёт потери энергии при столкновении

Как найти количество энергии, перешедшей во внутреннюю энергию при ударе

6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

При столкновении двух тел их суммарная кинетическая энергия может уменьшиться. Эта потеря энергии превращается во внутреннюю энергию тел: тела нагреваются, деформируются или издают звук. В конспекте разобраны формулы для абсолютно неупругого и частично упругого удара, а также алгоритм решения экзаменационных задач.

Физический смысл потери энергии

Сначала находят кинетическую энергию системы до столкновения, затем — после него. Разность этих значений и есть энергия, которая не сохранилась в виде механического движения. Для замкнутой системы она не исчезает, а переходит во внутреннюю энергию, энергию деформации, звук и другие формы.

Потеря кинетической энергии

Потерей кинетической энергии при столкновении называют величину \(\Delta E\), равную разности кинетической энергии системы до и после удара: \(\Delta E=E_{\text{до}}-E_{\text{после}}\). Для неупругого удара \(\Delta E>0\).

\(m\)

масса

кг

\(v\)

скорость

м/с

\(E\)

кинетическая энергия

Дж

\(Q\)

количество теплоты

Дж

\(e\)

коэффициент восстановления

без единицы

\[E_k=\frac{mv^2}{2}\]1

\[\Delta E=E_{k,\,\text{до}}-E_{k,\,\text{после}}\]2

Если механические потери полностью переходят в нагревание тел, то количество выделившейся теплоты равно потере кинетической энергии: \(Q=\Delta E\). Поэтому запрос «количество теплоты при столкновении двух тел» обычно приводит к формуле \(Q=E_{k,\,\text{до}}-E_{k,\,\text{после}}\).

Абсолютно неупругое столкновение

При абсолютно неупругом ударе тела после столкновения движутся вместе с одной общей скоростью \(u\). Кинетическая энергия не сохраняется, но при отсутствии внешнего импульса сохраняется импульс до и после столкновения. Это позволяет сначала найти общую скорость, а затем потерю энергии.

Главное правило

Для двух тел массами \(m_1\) и \(m_2\), двигавшихся со скоростями \(v_1\) и \(v_2\), общая скорость после абсолютно неупругого удара определяется из закона сохранения импульса.

\[m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)u\]3

\[u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\]4

Скорости нужно подставлять с учётом знака: выберите положительное направление оси. Если тела движутся навстречу друг другу, их скорости имеют противоположные знаки.

\[\Delta E=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)u^2}{2}\]5

После подстановки формулы (4) выражение можно привести к удобному виду, зависящему только от относительной скорости:

\[\Delta E=\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}(v_1-v_2)^2\]6

Запомнить

В абсолютно неупругом столкновении потеря энергии пропорциональна квадрату относительной скорости тел. Если \(v_1=v_2\), тела не сталкиваются в смысле взаимного движения и \(\Delta E=0\).

Микро-проверка

Два тела после удара слипаются. Какая величина обязательно сохраняется в замкнутой системе?

Алгоритм шешімдер и пример

Рассмотрим типичную тапсырманы: тележка массой \(m_1=2\ \text{кг}\) движется вправо со скоростью \(v_1=3\ \text{м/с}\). Навстречу ей движется тележка массой \(m_2=1\ \text{кг}\) со скоростью \(v_2=-1\ \text{м/с}\). После удара тележки сцепляются. Найдём потерю кинетической энергии и количество теплоты, если считать, что вся потерянная энергия перешла во внутреннюю.

№

Разобранный пример

Положительное направление выберем вправо. Поэтому скорость второй тележки отрицательна.

1. Запишем закон сохранения импульса и найдём общую скорость тележек.

\(\displaystyle u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{2\cdot3+1\cdot(-1)}{2+1}=\frac{5}{3}\ \text{м/с}\)

2. Найдём кинетическую энергию до столкновения.

\(\displaystyle E_{\text{до}}=\frac{2\cdot3^2}{2}+\frac{1\cdot1^2}{2}=9+0{,}5=9{,}5\ \text{Дж}\)

3. Найдём кинетическую энергию после столкновения.

\(\displaystyle E_{\text{после}}=\frac{(2+1)\left(\frac{5}{3}\right)^2}{2}=\frac{25}{6}\ \text{Дж}\approx4{,}17\ \text{Дж}\)

4. Вычислим потерю кинетической энергии.

\(\displaystyle \Delta E=9{,}5-4{,}17\approx5{,}33\ \text{Дж}\)

5. Если вся потерянная механическая энергия превратилась в нагревание, количество теплоты равно этой потере.

\(\displaystyle Q=\Delta E\approx5{,}33\ \text{Дж}\)

Выбрать положительное направление и расставить знаки скоростей.
Записать закон сохранения импульса.
Іздеу скорость после удара или использовать её из условия.
Посчитать кинетическую энергию до и после столкновения.
Вычесть конечную энергию из начальной.

Жартылай упругий удар

При частично упругом столкновении тела после удара расходятся, но кинетическая энергия сохраняется не полностью. Удобно использовать коэффициент восстановления \(e\), который связывает относительные скорости после и до удара.

\[e=\frac{|u_2-u_1|}{|v_1-v_2|},\qquad 0\le e\le1\]7

Здесь \(v_1,v_2\) — скорости до удара, а \(u_1,u_2\) — скорости после. При \(e=1\) удар абсолютно упругий и потери кинетической энергии нет. При \(e=0\) тела после удара имеют одинаковую скорость, то есть удар абсолютно неупругий.

\[\Delta E=\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}(1-e^2)(v_1-v_2)^2\]8

Эта формула справедлива для центрального одномерного столкновения при сохранении импульса. Она показывает: чем больше относительная скорость и чем меньше \(e\), тем больше потери энергии.

Зависимость относительной потери энергии от коэффициента восстановления: при \(e=1\) потери равны нулю.

Жылдам способ

Если в условии уже даны \(m_1\), \(m_2\), относительная скорость и коэффициент восстановления, не обязательно находить обе конечные скорости. Сразу применяйте формулу (8).

Связь с сохранением энергии

Полная энергия замкнутой системы сохраняется, хотя механическая часть может уменьшаться. Поэтому потеря кинетической энергии не нарушает закон сохранения энергии в механике. В задачах важно различать: «кинетическая энергия уменьшилась» и «энергия исчезла» — это не одно и то же.

Частые ошибки

1. Писать закон сохранения кинетической энергии для неупругого удара. 2. Игнорировать знак скорости тела, движущегося навстречу. 3. Считать \(Q=mc\Delta T\), когда удельная теплоёмкость или изменение температуры не даны: при полном переходе потерь в тепло достаточно записать \(Q=\Delta E\). 4. Вычитать энергии в неправильном порядке и получать отрицательную «потерю». 5. Путать скорость относительного движения \(|v_1-v_2|\) с разностью модулей скоростей без учёта направления.

Для двумерных задач сначала применяют закон сохранения импульса по каждой координате; затем кинетические энергии считают по модулям скоростей. Такой случай подробно связан со страницей об абсолютно неупругом столкновении в двумерном случае.

Проверка себя

Жылдам тест по теме

Quick-test

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · определение

Что вычисляют формулой \(E_{\text{до}}-E_{\text{после}}\)?

Главное за минуту

Главное

Потеря кинетической энергии равна \(\Delta E=E_{\text{до}}-E_{\text{после}}\).
При абсолютно неупругом ударе тела движутся вместе, а импульс системы сохраняется.
Для полного перехода потерь в нагревание \(Q=\Delta E\).
При частично упругом ударе удобно использовать \(\Delta E=\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}(1-e^2)(v_1-v_2)^2\).
Всегда учитывайте знаки скоростей и различайте сохранение полной энергии и сохранение кинетической энергии.