Закон сохранения энергии в механике
Закон сохранения механической энергии помогает находить скорость, высоту и другие величины без подробного анализа движения по времени. Он особенно удобен, когда тело движется под действием сил тяжести или упругости и энергия переходит между кинетической и потенциальной.
Механическая энергия и условия сохранения
Механическая энергия системы складывается из кинетической энергии движения и потенциальной энергии взаимодействия тел или частей системы. Кинетическая энергия зависит от скорости, а потенциальная — от положения тела или деформации. Перед применением закона нужно выбрать систему и уровень отсчёта потенциальной энергии.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий системы: \(E=E_k+E_p\). Она измеряется в джоулях.
Если в замкнутой механической системе действуют только консервативные силы — например, сила тяжести или сила упругости, — то сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна: механическая энергия не возникает и не исчезает, а переходит из одной формы в другую.
Для движения около поверхности Земли потенциальная энергия тела массой \(m\) на высоте \(h\) равна \(mgh\). Уровень, на котором \(h=0\), выбирают произвольно, но во всём решении используют один и тот же выбор. Кинетическая энергия определяется формулой \(E_k=\frac{mv^2}{2}\); подробнее она разобрана на странице кинетической энергии.
В общем случае сохранение энергии записывают сравнением двух состояний: начального и конечного. Индексы 1 и 2 обозначают параметры тела в этих состояниях.
Переходы между видами энергии
Если тело падает, его высота уменьшается, поэтому уменьшается потенциальная энергия \(mgh\). При отсутствии сопротивления воздуха такая потеря полностью превращается в кинетическую энергию: скорость возрастает. При подъёме происходит обратное: кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная увеличивается.
Для пружины используют потенциальную энергию упругой деформации \(E_p=\frac{kx^2}{2}\), где \(k\) — жёсткость пружины, а \(x\) — удлинение или сжатие. Например, сжатая пружина может разогнать брусок: энергия упругой деформации переходит в кинетическую.
Закон сохранения энергии отличается от закона сохранения импульса. Импульс сохраняется при нулевой сумме внешних сил, а механическая энергия — при отсутствии работы неконсервативных сил. При неупругом столкновении импульс замкнутой системы может сохраняться, но часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию.
При наличии трения, сопротивления воздуха или другой неконсервативной силы механическая энергия не обязана сохраняться. Изменение механической энергии равно работе внешних и неконсервативных сил: \(E_2-E_1=A_{\text{неконс}}+A_{\text{внеш}}\).
Камень падает без сопротивления воздуха. Что происходит с его энергией?
Алгоритм шешімдер тапсырма
- Выберите систему тел и отметьте начальное и конечное состояния.
- Определите, какие силы совершают работу. Проверьте, можно ли считать механическую энергию сохраняющейся.
- Выберите нулевой деңгей потенциальной энергии и выразите энергии в обоих состояниях.
- Запишите уравнение \(E_1=E_2\) или уравнение с работой неконсервативных сил.
- Подставьте единицы СИ, преобразуйте формулу и проверьте смысл ответа.
Если начальная и конечная высоты кіреді только через разность, можно сразу записать \(\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}=mg(h_1-h_2)\). Масса часто сокращается, поэтому скорость падения не зависит от массы тела при одинаковых начальных условиях.
Разобранный пример: скорость тела после падения
Мяч бросили вертикально вверх со скоростью \(v_0=10\ \text{м/с}\). Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите максимальную высоту подъёма относительно точки броска. Примите \(g=10\ \text{м/с}^2\).
Жауабы: максимальная высота подъёма относительно точки броска равна \(5\ \text{м}\). Время движения здесь не требовалось: закон сохранения энергии связывает состояния напрямую.
Если тело движется по наклонной плоскости, энергия также может сохраняться, если трения нет. При наличии трения нужно учитывать работу силы трения; графическое нахождение работы рассмотрено на странице графика работы силы. Для сложных движений полезны энергетические диаграммы, на которых видно, при каких значениях энергии движение возможно.
1. Сохраняют механическую энергию при заметном трении, не учитывая его работу. 2. Путают высоту \(h\) с пройденным путём: в потенциальной энергии важна координата относительно выбранного уровня. 3. Забывают квадрат скорости в \(E_k=\frac{mv^2}{2}\). 4. Используют разные нулевые уровни для начального и конечного состояния. 5. Считают, что при любом столкновении сохраняется кинетическая энергия; это верно только для абсолютно упругого столкновения.
Связь с работой и другими законами сохранения
Теорема о кинетической энергии утверждает: работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии, \(A=\Delta E_k\). Для консервативной силы эта работа компенсируется изменением потенциальной энергии, поэтому \(\Delta(E_k+E_p)=0\). Если на систему действуют внешние силы, надо учитывать их работу; это подробно рассматривается на странице работы внешней силы.
В задачах о столкновениях часто применяют сразу два закона: сохранения импульса и сохранения энергии. Однако механическая энергия сохраняется только для упругого столкновения. При неупругом ударе после записи закона импульса используют закон сохранения полной энергии с учётом нагревания и деформации, а не равенство кинетических энергий.
Главное
- Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной: \(E=E_k+E_p\).
- При действии только консервативных сил механическая энергия сохраняется.
- Для движения около Земли используют \(E_p=mgh\), а для пружины — \(E_p=\frac{kx^2}{2}\).
- При трении механическая энергия уменьшается на работу силы трения и переходит во внутреннюю энергию.
- Закон сохранения импульса и закон сохранения энергии имеют разные условия применимости; при столкновениях их нельзя автоматически заменять друг другом.