Энергия в неинерциальной системе
В инерциальной системе отсчёта закон сохранения механической энергии применяют, если работа неконсервативных сил равна нулю. В ускоренной, то есть неинерциальной, системе отсчёта к реальным силам добавляют силы инерции; их работа также должна быть учтена в уравнении энергии.
Основная идея
Система отсчёта называется неинерциальной, если она движется относительно инерциальной системы с ускорением или вращается. Например, такой системой может быть лифт, разгоняющийся вагон, автомобиль, который тормозит, или вращающаяся платформа. Подробно понятие силы инерции рассматривается на странице «Сила инерции».
Это система отсчёта, в которой свободное тело может двигаться с ускорением. Чтобы второй закон Ньютона имел обычный вид, в такой системе вводят силы инерции.
В неинерциальной системе сумма реальных сил и сил инерции равна произведению массы тела на его ускорение относительно этой системы: \(\sum \vec F_{\text{реал}}+\sum \vec F_{\text{ин}}=m\vec a'\). Здесь \(\vec a'\) — ускорение тела относительно ускоренной системы.
Если поступательная система движется с ускорением \(\vec a_0\) относительно инерциальной, то сила инерции для тела массы \(m\) равна
Знак «минус» означает, что сила инерции направлена противоположно ускорению самой системы. Важно: сила инерции не является взаимодействием тела с другим телом. Она появляется из-за выбора ускоренной системы отсчёта.
Энергетическое уравнение в ускоренной системе
Теорема о кинетической энергии сохраняет вид: изменение кинетической энергии равно работе всех сил, действующих в выбранной системе. Поэтому в неинерциальной системе нужно включить в работу не только реальные силы, но и силы инерции.
Если реальные консервативные силы, например сила тяжести или сила упругости, заменить потенциальной энергией, то уравнение можно записать так:
Здесь \(A_{\text{неконс}}\) — работа реальных неконсервативных сил, например силы трения. Работа силы инерции может быть представлена как изменение дополнительной потенциальной энергии, если ускорение системы постоянно и направлено вдоль выбранной оси.
Если система движется поступательно с постоянным ускорением \(a_0\), то сила инерции постоянна: \(F_{\text{ин}}=ma_0\). Для перемещения \(\Delta x\) вдоль её направления работа равна \(A_{\text{ин}}=-ma_0\Delta x\). Её можно учесть как изменение эффективной потенциальной энергии.
Если ось \(x\) направлена в сторону ускорения системы, то \(F_{\text{ин}}=-ma_0\), а потенциальная энергия силы инерции возрастает при увеличении \(x\). При движении в противоположную сторону работа силы инерции положительна, и кинетическая энергия увеличивается.
Эффективная сила тяжести
В лифте или кабине, движущейся вертикально с ускорением, сила инерции направлена вертикально. Поэтому сила тяжести и сила инерции могут складываться или вычитаться. Удобно вводить эффективное ускорение свободного падения.
Если лифт ускоряется вверх с ускорением \(a\), то сила инерции направлена вниз, и \(g_{\text{эфф}}=g+a\). Если лифт ускоряется вниз, то \(g_{\text{эфф}}=g-a\). При свободном падении кабины \(a=g\), поэтому \(g_{\text{эфф}}=0\): внутри кабины возникает состояние невесомости.
В лифте при ускорении вверх вес тела увеличивается, при ускорении вниз уменьшается. Это не означает, что масса тела изменилась: меняется сила реакции опоры.
Лифт ускоряется вниз с ускорением \(a<g\). Каково эффективное ускорение свободного падения внутри лифта?
Разобранный пример: скольжение в ускоряющемся вагоне
Брусок массой \(m\) находится на гладком горизонтальном полу вагона. Вагон ускоряется вправо с постоянным ускорением \(a_0\). Брусок получает относительно вагона начальную скорость \(v_0\) влево. Найдём путь до остановки бруска относительно вагона.
Трение отсутствует; вагон ускоряется вправо; начальная скорость бруска относительно вагона направлена влево. Нужно найти расстояние \(s\), которое брусок пройдёт до остановки.
Тот же результат можно получить через энергию. При движении влево сила инерции совершает положительную работу, поэтому кинетическая энергия не исчезает сама по себе: она увеличивается. Но выбранное направление требует аккуратного знака скорости и ускорения. Проще выбрать ось по движению и применить теорему о кинетической энергии.
Если брусок в начальный момент движется влево, а сила инерции тоже направлена влево, он не остановится. Поэтому в условии «начальная скорость влево» тело не имеет остановки в системе вагона: его скорость по модулю возрастает. Остановка возможна, если брусок бросили вправо, навстречу силе инерции. Тогда \(A_{\text{ин}}=-ma_0s\) и
В разобранной задаче сила инерции направлена противоположно ускорению вагона. Если тело движется по силе инерции, работа положительна и остановки не будет. Если тело движется против силы инерции, работа отрицательна и оно может остановиться.
Алгоритм шешімдер тапсырма
- Укажите систему отсчёта и проверьте, является ли она ускоренной.
- Нарисуйте реальные силы: тяжесть, реакцию опоры, натяжение, трение и другие.
- Добавьте силу инерции \(\vec F_{\text{ин}}=-m\vec a_0\).
- Выберите ось или направление перемещения и определите знак работы каждой силы.
- Запишите \(\Delta E_k=\sum A\) либо закон сохранения полной энергии с учётом работы силы инерции.
- Проверьте размерность, знак результата и предельные случаи: \(a_0=0\), отсутствие трения, свободное падение.
1. Силу инерции направляют по ускорению системы, а не противоположно ему. 2. Учитывают силу инерции в уравнении Ньютона, но забывают её работу в энергетическом уравнении. 3. Считают силу инерции реальной силой взаимодействия. 4. Путают ускорение системы \(a_0\) с ускорением тела относительно системы \(a'\). 5. Без проверки направления движения утверждают, что тело обязательно остановится.
Связь с законом сохранения энергии
В инерциальной системе удобнее применять обычный закон сохранения энергии в механике. При наличии трения работа силы трения уменьшает механическую энергию; способ учёта этой работы разобран в теме «Работа и энергия при движении». В неинерциальной системе к этому правилу добавляется работа силы инерции. Если система вращается, могут появиться центробежная и кориолисова силы; для школьных задач чаще рассматривают поступательное ускорение и лифт.
Быстрая проверка
Главное
- В неинерциальной системе к реальным силам добавляют силу инерции \(\vec F_{\text{ин}}=-m\vec a_0\).
- Работа всех сил, включая силу инерции, определяет изменение кинетической энергии: \(\Delta E_k=\sum A\).
- При постоянном ускорении системы силу инерции можно описывать дополнительной потенциальной энергией \(U_{\text{ин}}=ma_0x\).
- В вертикально ускоренной системе используют эффективное ускорение \(\vec g_{\text{эфф}}=\vec g-\vec a_0\).
- Басты бет проверка шешімдер — направление силы инерции и знак её жұмысы.