Импульс и энергия при столкновении
При столкновении тел обычно неизвестны их скорости после удара. Чтобы найти их, используют два закона: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Однако энергия сохраняется всегда, а механическая энергия — только при упругом столкновении.
Перед решением полезно повторить закон сохранения импульса. Общая идея такова: если внешние силы за время удара пренебрежимо малы, векторная сумма импульсов тел до взаимодействия равна векторной сумме после него. Для энергии важно отличать полную энергию от кинетической: при неупругом ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию, деформацию и тепло.
Основные понятия и условия
Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: \(\vec p=m\vec v\). Направление импульса совпадает с направлением скорости.
В замкнутой системе, то есть при отсутствии внешнего результирующего импульса сил, сохраняется суммарный импульс: \(\sum \vec p_{\text{до}}=\sum \vec p_{\text{после}}\). В задачах с движением вдоль одной прямой нужно выбрать положительное направление и учитывать знаки скоростей.
Систему тел можно считать замкнутой, если время столкновения мало, а внешние силы, например сила тяжести или реакция опоры, не успевают заметно изменить импульс системы. При этом внутренние силы взаимодействия тел образуют пару и взаимно компенсируются в сумме.
Энергия при соударении
Кинетическая энергия тела — энергия его движения: \(E_k=\frac{mv^2}{2}\). Она является скалярной величиной, поэтому в энергетическом уравнении направление скорости не задаётся знаком: квадрат скорости всегда неотрицателен.
Если действуют только консервативные силы, сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий: \(E_k+E_p=\mathrm{const}\). Подробнее общий подход изложен на странице закона сохранения энергии и импульса.
Столкновение называют упругим, если после него сохраняется и импульс, и суммарная кинетическая энергия. При неупругом столкновении импульс замкнутой системы сохраняется, но кинетическая энергия уменьшается. Если тела после удара движутся вместе, столкновение называют абсолютно неупругим.
Здесь \(v_1,v_2\) — скорости до удара, а \(u_1,u_2\) — скорости после удара. В одномерной задаче скорости можно записывать со знаками. В двумерной задаче закон сохранения импульса распадается на два уравнения по осям \(x\) и \(y\).
Алгоритм решения задач
- Выберите систему тел и положительное направление оси.
- Запишите закон сохранения импульса с учётом знаков скоростей.
- Определите вид столкновения: упругое, неупругое или абсолютно неупругое.
- Если удар упругий, добавьте закон сохранения кинетической энергии.
- Переведите величины в СИ, решите систему уравнений и проверьте размерность и смысл ответа.
Если после абсолютно неупругого удара тела движутся вместе, неизвестна только одна скорость. Поэтому достаточно одного уравнения импульса: \(m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)u\).
Какие законы применяются при абсолютно неупругом столкновении замкнутой системы?
Разобранный пример: упругое лобовое столкновение
Шар массой \(m_1=1\) кг движется вправо со скоростью \(v_1=6\) м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой \(m_2=2\) кг. Удар упругий. Найдём скорости \(u_1\) и \(u_2\) после столкновения.
Система из двух шаров замкнута на время удара. Направление вправо считаем положительным. Поэтому \(v_1=6\) м/с, \(v_2=0\), а скорости \(u_1,u_2\) могут оказаться положительными или отрицательными.
Ответ: первый шар после удара движется влево со скоростью \(2\) м/с, второй — вправо со скоростью \(4\) м/с. Отрицательный знак \(u_1\) показывает изменение направления движения.
Не смешивайте в одном уравнении импульса модули скоростей и их направления. Нельзя писать \(m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\), если тело движется влево, не поставив отрицательный знак. Также нельзя применять сохранение кинетической энергии к неупругому удару. Наконец, не забывайте, что энергия зависит от квадрата скорости, а импульс — от самой скорости.
Неупругий удар и потеря кинетической энергии
Для абсолютно неупругого удара после столкновения тела имеют общую скорость \(u\). Из закона сохранения импульса получаем:
Кинетическая энергия до удара равна \(E_{k,\text{до}}\), а после — \(E_{k,\text{после}}\). Разность этих величин не исчезает: она переходит во внутреннюю энергию, деформацию и нагрев. Количество теплоты при столкновении рассматривается подробнее на странице количества теплоты при столкновении тел.
Если на тело действует внешняя сила и система не замкнута, импульс отдельных тел всё равно можно анализировать, но необходимо учитывать импульс внешних сил. При выборе системы отсчёта также важно помнить: в неинерциальной системе появляются силы инерции, а описание энергии требует осторожности; см. энергию в неинерциальной системе.
Итоговая проверка
Проверь себя
Главное
- Импульс — вектор: \(\vec p=m\vec v\); его сохранение записывают с учётом направлений.
- При замкнутой системе сохраняется суммарный импульс.
- Кинетическая энергия \(E_k=mv^2/2\) сохраняется при упругом столкновении, но не обязана сохраняться при неупругом.
- Для абсолютно неупругого удара тела после столкновения имеют общую скорость \(u=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2)\).
- Алгоритм: выбрать систему и ось, записать импульс, определить вид удара, добавить энергетическое уравнение при необходимости, проверить знаки и единицы.