Вытекание жидкости из отверстия
Вытекание жидкости из отверстия в сосуде можно описать с помощью закона сохранения энергии. Если сосуд открыт, а отверстие находится ниже свободной поверхности жидкости, скорость истечения определяется разностью высот: чем больше столб жидкости над отверстием, тем быстрее она вытекает.
Условия модели и основные понятия
Рассмотрим сосуд с жидкостью, имеющий небольшое отверстие в боковой стенке или дне. Жидкость считаем идеальной: несжимаемой, невязкой и находящейся в установившемся движении. Давление на свободной поверхности и снаружи отверстия одинаково и равно атмосферному, если сосуд открыт.
Истечение жидкости — движение жидкости через отверстие или сопло под действием разности давлений. В простейшем случае причиной движения служит давление столба жидкости, связанное с разностью высот.
Для вывода используем уравнение Бернулли. Оно связывает давление, скорость и высоту разных точек одной струи. В точке на свободной поверхности жидкости обозначим скорость \(v_1\), давление \(p_1\) и высоту \(h_1\). В точке выхода из отверстия обозначим соответствующие величины \(v_2\), \(p_2\) и \(h_2\).
Вывод формулы Торричелли
Запишем уравнение Бернулли для свободной поверхности и отверстия. В открытом сосуде давления в этих точках одинаковы: \(p_1=p_2=p_\text{атм}\). Если площадь сосуда значительно больше площади отверстия, уровень жидкости опускается медленно, поэтому \(v_1\approx0\). Обозначим разность высот \(h=h_1-h_2\).
Скорость истечения идеальной жидкости из малого отверстия в открытом сосуде равна скорости тела, свободно падающего с высоты \(h\): \(v=\sqrt{2gh}\), где \(h\) — расстояние по вертикали от свободной поверхности до отверстия.
Формула Торричелли является следствием уравнения Торричелли и применима при выполнении условий модели. Она показывает, что скорость не зависит напрямую от плотности жидкости: для воды, масла и другой жидкости при одинаковой высоте \(h\) идеальная скорость будет одной и той же.
Расход и время истечения
Если площадь отверстия равна \(S\), то за время \(\Delta t\) через него проходит объём жидкости \(\Delta V\). Объём равен произведению площади отверстия на путь, пройденный струёй: \(\Delta V=S v\Delta t\).
Величина \(Q\) называется объёмным расходом. Её единица СИ — \(\text{м}^3/\text{с}\). Если уровень жидкости почти не меняется, расход можно считать постоянным. В реальном сосуде уровень постепенно понижается, поэтому \(h\) и скорость истечения со временем уменьшаются.
Если высоту столба увеличить в 4 раза, скорость увеличится только в 2 раза, поскольку \(v\sim\sqrt h\). Если площадь отверстия увеличить в 2 раза, скорость не изменится, но расход увеличится в 2 раза.
Как изменится скорость истечения, если высота столба жидкости над отверстием возрастёт в 9 раз?
Разобранный пример
В открытом баке отверстие находится на \(1{,}25\ \text{м}\) ниже свободной поверхности. Площадь отверстия \(S=2\ \text{см}^2\). Найдём скорость истечения и объёмный расход. Примем \(g=10\ \text{м/с}^2\).
Жауабы: скорость струи равна \(5\ \text{м/с}\), а расход — \(1\ \text{л/с}\). В задачах экзамена важно сначала определить вертикальную разность высот, а не длину наклонного пути от поверхности до отверстия.
Когда формулу нужно уточнить
Если сосуд не открыт, давления на поверхности и у отверстия могут быть различными. Тогда используют полную запись уравнения Бернулли: разность давлений тоже участвует в создании скорости. При заметной площади отверстия нельзя считать \(v_1=0\): нужно применять уравнение неразрывности \(S_1v_1=S_2v_2\).
В реальной жидкости есть вязкость и сопротивление, поэтому действительная скорость обычно меньше идеальной. Это связано с гидравлическим сопротивлением. Если отверстие очень мало или имеет форму тонкой трубки, могут стать важными сила поверхностного натяжения и капиллярные явления.
1. Подставляют в \(h\) глубину сосуда вместо вертикального расстояния от поверхности до отверстия. 2. Используют сантиметры без перевода в метры. 3. Пишут \(v=2gh\) вместо \(v=\sqrt{2gh}\). 4. Считают, что плотность обязательно кіреді в формулу Торричелли. 5. Путают скорость \(v\) и расход \(Q\): площадь отверстия нужна для расхода, но не для идеальной скорости.
Для открытого большого сосуда с малым отверстием: \(v=\sqrt{2gh}\), а \(Q=S\sqrt{2gh}\). Давление атмосферы сокращается, если оно одинаково на поверхности жидкости и у выхода.
Связь с другими задачами механики
Истечение — пример превращения потенциальной энергии жидкости в кинетическую энергию струи. Поэтому тема связана с разделом работы и энергии при движении. Если струя попадает в стенку или преграду, дополнительно применяют закон сохранения импульса. Давление жидкости в состоянии покоя рассматривается в теме гидродинамического равновесия.
Проверь себя
Главное
- Истечение жидкости описывают с помощью уравнения Бернулли и закона сохранения энергии.
- Для открытого большого сосуда с малым отверстием скорость струи задаётся формулой Торричелли \(v=\sqrt{2gh}\).
- Высота \(h\) — вертикальная разность между свободной поверхностью и отверстием.
- Объёмный расход равен \(Q=Sv=S\sqrt{2gh}\) и измеряется в \(\text{м}^3/\text{с}\).
- Формулы идеальны: при учёте вязкости, сопротивления или большой площади отверстия нужны дополнительные поправки.