Закон Бернулли

Закон Бернулли — это закон сохранения механической энергии для установившегося потока идеальной жидкости. Он связывает давление, скорость движения и высоту: если одна из этих величин изменяется, то при определённых условиях изменяется и хотя бы одна из двух других.

Условия применимости и физический смысл

Рассматривают установившееся течение: в каждой точке пространства жидкость движется с постоянной во времени скоростью. Жидкость считают идеальной, то есть несжимаемой и невязкой; потерями механической энергии на трение пренебрегают. Уравнение применяют вдоль одной линии тока — линии, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости жидкости.

Здесь \(p\) — статическое давление жидкости, \(\rho gh\) — энергия положения единицы объёма, а \(\frac{\rho v^2}{2}\) — гидродинамическое давление, или кинетическая энергия единицы объёма. С понятием гидродинамического давления полезно ознакомиться заранее. Величина \(h\) отсчитывается от выбранного нулевого уровня; важно использовать один и тот же уровень для всех точек.

Уравнение неразрывности, которое следует изучить раньше, связывает скорости в разных сечениях трубы: \(S_1v_1=S_2v_2\). Поэтому в узком участке поток движется быстрее, а в широком — медленнее. Именно это позволяет совместно применять оба уравнения.

Две формы уравнения Бернулли

Для двух точек одной линии тока уравнение записывают так:

После переноса слагаемых можно выразить неизвестное давление, скорость или высоту. Например, разность давлений равна

Если труба горизонтальна, то \(h_1=h_2\), и получается: при увеличении скорости давление уменьшается.

Сумму \(p+\frac{\rho v^2}{2}\) называют полным давлением потока для горизонтального движения. Для общего случая полезно также понятие напора в жидкости: после деления уравнения Бернулли на \(\rho g\) все слагаемые имеют размерность длины.

Первое слагаемое называют пьезометрической высотой, второе — геометрической высотой, третье — скоростной высотой. В реальной жидкости часть энергии теряется из-за вязкости, поэтому для неё в уравнение добавляют потери напора.

Как решать задачи

1. Выберите две точки потока и запишите для них высоты, давления, скорости и площади сечений.
2. Переведите все величины в СИ: давление — в паскали, площадь — в квадратные метры, плотность — в кг/м³.
3. Если даны площади сечений, примените уравнение неразрывности и выразите одну скорость через другую.
4. Запишите уравнение Бернулли между выбранными точками.
5. Сократите одинаковые слагаемые, подставьте числа и проверьте единицы и знак результата.

Если в условии дан расход жидкости \(Q\), сначала используют связь \(Q=Sv\), то есть \(v=Q/S\). Страницу о расходе жидкости удобно повторить перед такими задачами. Если жидкость вытекает из отверстия, уравнение Бернулли приводит к уравнению Торричелли и формуле скорости истечения.

Частные случаи и графическая картина

Если скорость жидкости в большом резервуаре можно считать почти нулевой, уравнение Бернулли связывает давление и скорость истечения. Если обе точки находятся на свободной поверхности и давление в них одинаково, слагаемые давления сокращаются. Если поток покоится, \(v=0\), уравнение переходит в закон изменения давления с глубиной для жидкости в равновесии.

В задачах на истечение из отверстия часто считают поверхность большого сосуда неподвижной: \(v_1\approx0\). Давление на поверхности и у отверстия может быть одинаковым, например атмосферным. Тогда остаётся связь между высотой столба жидкости и скоростью струи.

Частые ошибки

Проверка знаний