Скорость истечения жидкости
Скорость истечения жидкости из небольшого отверстия определяется разностью высот между свободной поверхностью жидкости и отверстием. В идеальной модели потенциальная энергия опускающейся жидкости превращается в кинетическую, поэтому скорость находят из закона сохранения механической энергии.
Физическая модель и основные понятия
Рассмотрим открытый сосуд с жидкостью и маленькое отверстие в его боковой стенке или дне. Свободная поверхность жидкости находится на высоте \(h\) над центром отверстия. При истечении жидкость движется вниз внутри сосуда и вылетает наружу со скоростью \(v\). Если отверстие мало по сравнению с площадью поверхности жидкости, уровень в сосуде опускается медленно, а скорость поверхности можно считать равной нулю.
Скорость истечения — скорость, с которой частицы жидкости покидают сосуд через отверстие. В идеальной задаче она зависит от ускорения свободного падения \(g\) и напора \(h\), то есть вертикального расстояния от свободной поверхности до отверстия.
Для идеальной жидкости, вытекающей из большого открытого сосуда через малое отверстие, скорость истечения определяется уравнением Торричелли. Она равна скорости тела, свободно падающего с высоты \(h\) без начальной скорости.
В школьных задачах обычно принимают \(g=10\,\text{м/с}^2\), если другое значение не указано. Жидкость считают несжимаемой и невязкой, отверстие — малым, а сопротивлением воздуха и потерями энергии пренебрегают.
Вывод формулы из закона сохранения энергии
Выберем два положения одной и той же порции жидкости: положение 1 на свободной поверхности и положение 2 у отверстия. На поверхности жидкость почти покоится, поэтому \(v_1\approx0\). Давление в обеих точках открытого сосуда одинаково и равно атмосферному: \(p_1=p_2=p_\text{атм}\). Тогда в законе Бернулли слагаемые, связанные с давлением, сокращаются.
Пусть \(h=h_1-h_2\) — разность высот между свободной поверхностью и отверстием. Подставляя \(v_1=0\), получаем:
Формула показывает: если напор увеличить в четыре раза, скорость увеличится в два раза. Масса и плотность жидкости в идеальной формуле не входят. Однако они понадобятся, если требуется найти расход жидкости или массу вытекшей жидкости.
Алгоритм решения задач
- Сделайте рисунок и отметьте свободную поверхность, отверстие и вертикальное расстояние между ними.
- Определите напор \(h\). Это не обязательно высота всего сосуда: нужна только разность высот между двумя выбранными точками.
- Проверьте условия модели: сосуд должен быть достаточно большим, отверстие — маленьким, а давление над жидкостью и снаружи отверстия — одинаковым.
- Переведите величины в СИ: высоту — в метры, время — в секунды.
- Подставьте данные в \(v=\sqrt{2gh}\) и запишите единицу ответа — м/с.
- Если нужно найти дальность полёта струи, сначала вычислите скорость истечения, затем рассмотрите движение струи как горизонтальное или наклонное движение тела.
Размерность \(gh\) равна \(\text{м}^2/\text{с}^2\), а после извлечения квадратного корня получается м/с. Кроме того, скорость должна быть тем больше, чем больше напор. При \(h=0\) идеальная скорость равна нулю.
Отверстие расположено на 0,8 м ниже поверхности воды. Чему примерно равна скорость истечения при \(g=10\,\text{м/с}^2\)?
Разобранный пример: истечение из отверстия
В открытом баке находится вода. Маленькое отверстие расположено на \(1,25\,\text{м}\) ниже свободной поверхности. Найдём скорость истечения воды, считая \(g=10\,\text{м/с}^2\).
Дано: \(h=1,25\,\text{м}\), \(g=10\,\text{м/с}^2\). Требуется найти \(v\). Давление над водой и снаружи отверстия одинаково — атмосферное, поэтому поправка на давление не нужна.
Ответ: \(v=5\,\text{м/с}\). Если после выхода струя падает вертикально вниз, её дальнейшее движение уже не описывается одной формулой Торричелли: для него используют уравнения движения тела под действием тяжести.
Когда формулу нужно изменить
Если сосуд не очень велик, скорость понижения свободной поверхности нельзя считать нулевой. Тогда используют уравнение Бернулли вместе с уравнением расхода \(S_1v_1=S_2v_2\). Скорость поверхности зависит от скорости истечения и отношения площадей сечений.
Если над жидкостью и снаружи отверстия разные давления, используется более общий результат. Для постоянной плотности жидкости:
Здесь \(p_1\) — давление на свободной поверхности, \(p_2\) — давление у выхода, а \(\rho\) — плотность жидкости. Для открытого сосуда \(p_1=p_2\), и формула переходит в формулу (1). В реальной жидкости из-за вязкости скорость обычно меньше идеальной; это учитывают коэффициентом расхода, если он дан в условии.
1. Берут высоту от дна сосуда, хотя нужен напор от поверхности до отверстия. 2. Используют \(v=gh\) вместо \(v=\sqrt{2gh}\). 3. Подставляют сантиметры без перевода в метры. 4. Считают, что плотность воды обязательно должна войти в формулу скорости. 5. Забывают проверить давления: формула \(\sqrt{2gh}\) справедлива напрямую только при одинаковом давлении в начальной и конечной точках. 6. Путают скорость истечения и расход: скорость измеряется в м/с, а расход — в м³/с.
Связь с расходом и движением струи
Зная скорость истечения, можно найти объём жидкости, проходящий через отверстие за единицу времени. При площади отверстия \(S\) объёмный расход равен \(Q=Sv\). Поэтому для идеального малого отверстия:
Если отверстие находится на высоте \(y\) над землёй, а струя вылетает горизонтально, время падения определяется высотой \(y\): \(t=\sqrt{2y/g}\). Дальность отлёта струи равна \(L=vt\). В таких задачах сначала находят \(v\) по напору, а затем применяют формулы равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения по вертикали.
Проверь себя
Главное
- Для малого отверстия в большом открытом сосуде скорость истечения находят по формуле \(v=\sqrt{2gh}\).
- Напор \(h\) — разность высот между свободной поверхностью жидкости и отверстием.
- Формула получается из закона сохранения энергии или частного случая уравнения Бернулли.
- При разных давлениях нужно учитывать слагаемое \((p_1-p_2)/\rho\).
- Для расхода используют \(Q=Sv\), а дальнейшее движение струи рассматривают отдельно.