Гидродинамическое равновесие
Гидродинамическое равновесие описывает распределение давления и скорости в жидкости: в покоящейся жидкости давление меняется с глубиной, а в установившемся потоке связано со скоростью и высотой. Для решения задач важно различать гидростатическое равновесие и движение жидкости, а также правильно выбирать сечения потока.
Покой жидкости и давление
Жидкость находится в равновесии, если каждая её малая часть покоится, а сумма сил, действующих на неё, равна нулю. В однородной жидкости плотности \(\rho\) давление увеличивается при движении вниз, потому что нижние слои поддерживают вес верхних. Подробно это рассматривается в теме гидростатическое давление.
Гидродинамическое равновесие — состояние жидкости, при котором распределение давления и скорости не изменяется со временем. Частный случай — покоящаяся жидкость: её скорость во всех точках равна нулю.
Для жидкости, находящейся в поле тяжести, давление на глубине \(h\) равно сумме давления на поверхности и давления столба жидкости: \(p=p_0+\rho gh\). Здесь \(p_0\) — давление на свободной поверхности.
Если рассматриваются две точки одной и той же покоящейся жидкости, расположенные на глубинах \(h_1\) и \(h_2\), то разность давлений определяется только разностью глубин: \(p_2-p_1=\rho g(h_2-h_1)\). Форма сосуда сама по себе значения не имеет. При одинаковой глубине в сообщающихся сосудах с одной и той же жидкостью давления одинаковы.
Движущийся поток и неразрывность
Поток называют установившимся, если в каждой фиксированной точке скорость и давление не меняются со временем. Это не означает, что жидкость покоится: её частицы могут непрерывно перемещаться. Линии тока показывают направления движения частиц; в установившемся потоке они не меняются со временем.
Для несжимаемой жидкости в установившемся потоке объём жидкости, проходящий через любое поперечное сечение за единицу времени, одинаков. Поэтому произведение площади сечения на скорость постоянно.
Если труба сужается, площадь \(S\) уменьшается, а скорость \(v\) возрастает. В широкой части скорость меньше. Для несжимаемой жидкости это следствие сохранения объёма: жидкость не накапливается внутри трубы. В задачах с двумя сечениями достаточно записать \(v_2=v_1\frac{S_1}{S_2}\).
Труба сузилась в 3 раза по площади сечения. Как изменилась скорость несжимаемой жидкости?
Уравнение Бернулли
Для идеальной, то есть несжимаемой и невязкой, жидкости в установившемся потоке выполняется закон Бернулли. Он выражает сохранение механической энергии единицы объёма жидкости вдоль линии тока. Величина \(p\) — энергия давления на единицу объёма, \(\rho v^2/2\) — кинетическая, а \(\rho gz\) — потенциальная.
Вдоль одной линии тока сумма давления, динамической составляющей и гидростатической составляющей постоянна. Уравнение применимо, если поток установившийся, жидкость несжимаема, а потерями энергии можно пренебречь.
Если труба горизонтальна, \(z_1=z_2\), поэтому увеличение скорости сопровождается уменьшением давления: \(p+\rho v^2/2=\text{const}\). Если скорость одинакова, давление больше в нижней точке, поскольку там больше гидростатическая составляющая. В реальной жидкости из-за вязкости часть механической энергии теряется, поэтому равенство заменяется учётом потерь.
В уравнении Бернулли постоянна не величина давления сама по себе, а сумма трёх слагаемых. Нельзя утверждать, что давление всегда уменьшается при увеличении скорости: это верно для горизонтального потока при прочих одинаковых условиях.
Разбор задачи: сужение горизонтальной трубы
В широкой части горизонтальной трубы площадь сечения \(S_1=6\,\text{см}^2\), скорость жидкости \(v_1=2\,\text{м/с}\), давление \(p_1=180\,\text{кПа}\). В узкой части площадь \(S_2=2\,\text{см}^2\). Найдём скорость и давление во второй части. Плотность жидкости \(\rho=1000\,\text{кг/м}^3\), потери энергии отсутствуют.
В узкой части трубы скорость равна \(6\,\text{м/с}\), а давление — \(164\,\text{кПа}\). Скорость возросла в 3 раза, давление уменьшилось, потому что труба горизонтальна и потери энергии не учитываются.
Как решать задачи о потоке
- Сделайте рисунок и отметьте два сечения, их площади, скорости, давления и высоты.
- Проверьте, можно ли считать жидкость несжимаемой и поток установившимся.
- Сначала используйте уравнение неразрывности, если площади сечений различаются.
- Затем запишите уравнение Бернулли, не забывая члены \(\rho gz\).
- Переведите площади в квадратные метры, давления — в паскали, затем проверьте размерность и смысл ответа.
Не путайте глубину \(h\) с координатой высоты \(z\): при отсчёте от поверхности жидкости давление записывают как \(p_0+\rho gh\), а в Бернулли используют высоту над выбранным уровнем. Нельзя складывать площади, если поток разделяется, и нельзя применять формулу \(S_1v_1=S_2v_2\) к сильно сжимаемому газу без дополнительных условий. Ещё одна ошибка — забывать атмосферное давление: оно сокращается только тогда, когда действует одинаково на обе сравниваемые точки.
Связь с задачами о выходе жидкости через отверстие рассматривается на странице вытекание жидкости из отверстия. Если поток резко меняет направление или жидкость сталкивается с преградой, дополнительно используют импульс; это уже близко к темам импульс и энергия при столкновении и работа и энергия при движении.
Проверь себя
Главное
- В покоящейся жидкости \(p=p_0+\rho gh\): давление увеличивается с глубиной.
- Для несжимаемого установившегося потока \(Sv=\text{const}\): в узком сечении скорость больше.
- Для идеальной жидкости вдоль линии тока \(p+\rho v^2/2+\rho gz=\text{const}\).
- В горизонтальном сужении скорость растёт, а давление уменьшается.
- В задаче сначала определяйте условия применимости формул, затем приводите все величины к СИ.