Задания № 11, 14 · ЕГЭ

Переходный процесс в RL-цепи

Модель включения и выключения цепи с катушкой, графики тока и постоянная времени

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Переходный процесс в RL-цепи — это изменение тока после включения или выключения источника в цепи с резистором и катушкой индуктивности. Ток в катушке не может измениться скачком: катушка постепенно запасает или отдаёт энергию магнитного поля.

1. Что происходит в RL-цепи

Рассмотрим последовательную цепь из источника постоянного напряжения \(\mathcal{E}\), резистора сопротивлением \(R\) и катушки индуктивности \(L\). Сопротивлением проводов и самой катушки в простейшей модели пренебрегаем. До замыкания ключа ток равен нулю.

Переходный процесс

Переходный процесс — временное изменение тока и напряжений при переходе цепи из одного установившегося состояния в другое, например после включения или отключения источника.

Основное правило для катушки

Ток через идеальную катушку не изменяется скачком. В момент переключения выполняется \(I(0^-)=I(0^+)\): ток непосредственно до и сразу после коммутации одинаков.

\(I\)

сила тока

\(R\)

сопротивление

Ом

\(L\)

индуктивность

Гн

\(\mathcal{E}\)

ЭДС источника

\(t\)

время

\(\tau\)

постоянная времени

При включении источник создаёт напряжение, но катушка противодействует быстрому нарастанию тока своей ЭДС самоиндукции. Направление этой ЭДС противоположно причине изменения тока. Подробнее это связано с ЭДС самоиндукции и правилом изменения тока в катушке.

2. Включение источника: нарастание тока

Сразу после замыкания ключа ток равен нулю, поэтому всё напряжение источника в первый момент приходится на катушку. Затем ток растёт, напряжение на резисторе \(IR\) увеличивается, а напряжение на катушке уменьшается. Через достаточно большое время переходный процесс заканчивается, и катушка в цепи постоянного тока ведёт себя как идеальный проводник: ток становится постоянным.

\[I(t)=I_{\infty}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad I_{\infty}=\frac{\mathcal{E}}{R},\qquad \tau=\frac{L}{R}\]1

Здесь \(I_{\infty}\) — установившийся ток, а \(\tau\) — постоянная времени RL-цепи. О ней подробнее рассказано на странице постоянная времени RL-цепи. Через время \(t=\tau\) ток достигает \(1-e^{-1}\approx0{,}632\) от конечного значения.

\[U_R(t)=\mathcal{E}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad U_L(t)=\mathcal{E}e^{-t/\tau}\]2

Нарастание тока при включении: при \(t=0\) ток равен нулю, а при больших \(t\) приближается к \(I_{\infty}\).

График имеет вид экспоненты: вначале ток изменяется быстро, затем рост замедляется. Теоретически установившееся значение достигается только при \(t\to\infty\), но практически переход считают закончившимся примерно через \(5\tau\): ток тогда составляет около \(99{,}3\%\) от \(I_{\infty}\).

3. Выключение источника: спад тока

Пусть до размыкания ключа ток достиг установившегося значения \(I_0\). Если источник отключают, катушка стремится сохранить ток прежнего направления. Она становится источником энергии для резистора, и ток замыкается по контуру разряда. Напряжение и ток убывают по экспоненциальному закону.

\[I(t)=I_0e^{-t/\tau},\qquad \tau=\frac{L}{R}\]3

\[U_R(t)=I_0Re^{-t/\tau},\qquad U_L(t)=-I_0Re^{-t/\tau}\]4

Знак «минус» у напряжения катушки означает, что при разряде её полярность направлена противоположно полярности, которую она имела при включении. Модуль тока через время \(\tau\) равен \(I_0/e\approx0{,}368I_0\), через \(2\tau\) — примерно \(0{,}135I_0\).

Спад тока после отключения источника.

Что нужно запомнить

При включении ток стремится к \(\mathcal{E}/R\) и растёт по закону \(1-e^{-t/\tau}\). При выключении ток стремится к нулю и убывает по закону \(e^{-t/\tau}\). В обоих случаях постоянная времени равна \(\tau=L/R\).

Микро-проверка

Как изменится постоянная времени, если индуктивность увеличить в 2 раза, а сопротивление оставить прежним?

4. Уравнение цепи и решение задачи

Для включения применяют второй закон Кирхгофа: сумма падений напряжения на резисторе и катушке равна ЭДС источника. Напряжение на резисторе равно \(IR\), а модуль ЭДС самоиндукции — \(L\frac{dI}{dt}\). Поэтому получаем дифференциальное уравнение переходного процесса.

\[L\frac{dI}{dt}+RI=\mathcal{E}\]5

Записываем закон Кирхгофа для контура после замыкания ключа.

\(\displaystyle \mathcal{E}=IR+L\frac{dI}{dt}\)

Делим уравнение на \(L\) и вводим \(\tau=L/R\).

\(\displaystyle \frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I=\frac{\mathcal{E}}{L}\)

Ищем решение, которое стремится к \(I_{\infty}=\mathcal{E}/R\) и удовлетворяет условию \(I(0)=0\).

\(\displaystyle I(t)=\frac{\mathcal{E}}{R}\left(1-e^{-Rt/L}\right)\)

Заменяем \(R/L\) на \(1/\tau\).

\(\displaystyle I(t)=\frac{\mathcal{E}}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\)

№

Пример: ток через 0,20 с после включения

В последовательной RL-цепи \(\mathcal{E}=12\) В, \(R=6\) Ом, \(L=3\) Гн. Найдём ток через \(t=0{,}20\) с после замыкания ключа.

Показать решение Решение

Находим установившийся ток.

\(\displaystyle I_{\infty}=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{12}{6}=2\ \text{А}\)

Вычисляем постоянную времени.

\(\displaystyle \tau=\frac{L}{R}=\frac{3}{6}=0{,}5\ \text{с}\)

Подставляем время в закон нарастания тока.

\(\displaystyle I(0{,}20)=2\left(1-e^{-0{,}20/0{,}5}\right)=2\left(1-e^{-0{,}4}\right)\)

Используем \(e^{-0{,}4}\approx0{,}670\).

\(\displaystyle I\approx2(1-0{,}670)=0{,}66\ \text{А}\)

Ответ: через \(0{,}20\) с ток примерно равен \(0{,}66\) А. Он меньше установившегося тока \(2\) А, потому что переходный процесс ещё не закончился.

5. Энергия и типичные ошибки

Энергия магнитного поля катушки при токе \(I\) равна \(W=\frac{LI^2}{2}\). При выключении эта энергия превращается главным образом во внутреннюю энергию резистора. Поэтому в цепи с большой индуктивностью при размыкании может возникнуть большая ЭДС самоиндукции.

\[W_L=\frac{LI^2}{2}\]6

Для вычислений важно не путать переходный ток с установившимся. Установившийся ток включённой цепи равен \(\mathcal{E}/R\), но в момент замыкания ток равен нулю. При отключении начальный ток равен тому значению, которое было непосредственно перед размыканием.

Частые ошибки

1. Считать катушку разрывом цепи после установления режима. В режиме постоянного тока идеальная катушка, наоборот, является проводником. 2. Писать \(I(0)=I_{\infty}\) при включении: правильно \(I(0)=0\). 3. Забывать, что \(\tau=L/R\) имеет единицу секунды. 4. Подставлять сопротивление только одного элемента, если в условии указано суммарное сопротивление цепи. 5. Неверно менять знак напряжения катушки при разряде.

Приём для графика

Сначала отметьте начальное значение и горизонтальную асимптоту. Затем поставьте точку при \(t=\tau\): для включения это \(0{,}632I_{\infty}\), для выключения — \(0{,}368I_0\). После этого форма экспоненты определяется однозначно.

6. Связь с измерениями и формулами

В реальной установке ток измеряют амперметром, а напряжение — вольтметром. Их внутренние сопротивления могут немного менять параметры цепи, поэтому при эксперименте учитывают погрешность измерений. Преобразовывать выражения для \(I(t)\), \(\tau\) и \(R\) удобно по правилам преобразования формул по электричеству.

Быстрый тест по теме

Быстрый тест

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · начальное условие

Каков ток в момент включения идеальной RL-цепи, если до этого тока не было?

Главное за минуту

Главное

Ток через катушку непрерывен: \(I(0^-)=I(0^+)\); это основа анализа коммутации.
При включении \(I=I_{\infty}(1-e^{-t/\tau})\), где \(I_{\infty}=\mathcal{E}/R\).
При выключении \(I=I_0e^{-t/\tau}\).
Постоянная времени RL-цепи \(\tau=L/R\): за одну \(\tau\) ток достигает \(63{,}2\%\) конечного значения при включении или уменьшается до \(36{,}8\%\) при выключении.
Для решения задач сначала найдите начальный ток, установившийся ток и постоянную времени, затем подставьте их в нужный закон.