Переходные процессы в цепи с индуктивностью

Переходный процесс — это кратковременное изменение тока и напряжения при переключении цепи. В цепи с катушкой ток не может измениться мгновенно: [[self-induction:самоиндукция]] создаёт ЭДС, которая препятствует резкому изменению тока.

Основные понятия

Катушка индуктивности обладает индуктивностью \(L\). При изменении тока в ней возникает ЭДС самоиндукции. По правилу Ленца эта ЭДС направлена так, чтобы противодействовать изменению тока: при увеличении тока она препятствует росту, а при уменьшении поддерживает ток в прежнем направлении.

Реальная катушка имеет сопротивление обмотки, но в простых задачах её часто считают идеальной и соединённой последовательно с резистором. Такая схема называется [[inductor-resistance-circuit:цепью с катушкой и сопротивлением]], или RL-цепью. Свойства индуктивности и связь ЭДС с изменением тока нужно знать до изучения переходных процессов.

Включение RL-цепи

Пусть источник постоянного напряжения \(\mathcal{E}\) подключают к последовательной цепи с сопротивлением \(R\) и индуктивностью \(L\). До включения ток равен нулю. Сразу после замыкания ток также равен нулю, однако напряжение источника появляется на катушке и резисторе в разных долях.

В установившемся режиме, когда ток перестал изменяться, \(\frac{dI}{dt}=0\). Катушка уже не создаёт заметной ЭДС самоиндукции и ведёт себя как проводник, поэтому установившийся ток равен \(I_{\infty}=\frac{\mathcal{E}}{R}\).

Величина \(\tau\) называется [[rl-circuit-time-constant:постоянной времени RL-цепи]]. За время \(t=\tau\) ток достигает примерно \(63\%\) установившегося значения: \(I(\tau)\approx0{,}63I_{\infty}\). При \(t\approx5\tau\) переходный процесс практически заканчивается: ток достигает более \(99\%\) от \(I_{\infty}\).

Напряжение на резисторе растёт вместе с током: \(U_R(t)=RI(t)\). Напряжение на катушке в начальный момент максимально и затем убывает:

В момент включения \(I(0)=0\), \(U_R(0)=0\), \(U_L(0)=\mathcal{E}\). В установившемся режиме \(U_R(\infty)=\mathcal{E}\), а \(U_L(\infty)=0\).

Отключение цепи

Рассмотрим катушку с током \(I_0\), замкнутую на сопротивление \(R\). Источник отключают, но цепь оставляют замкнутой. Ток не исчезает сразу: запасённая в магнитном поле энергия поддерживает его, а направление ЭДС самоиндукции меняется так, чтобы сохранить прежнее направление тока.

Знак «минус» в формуле для \(U_L\) показывает противоположность напряжения на катушке выбранному направлению тока и падению напряжения на резисторе. По модулю напряжения на катушке и резисторе при размыкании равны, если других элементов нет.

Если цепь действительно разомкнуть, катушка стремится сохранить ток. Из-за этого между её выводами может возникнуть искра или опасный импульс напряжения. Поэтому в реальных схемах применяют защитные диоды, резисторы или другие цепи разряда.

Преобразование формул и алгоритм решения

Для экзамена важно не только помнить формулу, но и уметь выразить из неё нужную величину. Например, из \(\tau=\frac{L}{R}\) следуют \(L=\tau R\) и \(R=\frac{L}{\tau}\). Если в условии дано отношение \(I/I_{\infty}\), удобно использовать безразмерное время \(x=t/\tau\).

Ответ: через \(0{,}5\) с ток равен примерно \(1{,}26\) А. Это около \(63\%\) от установившегося тока, что согласуется с определением постоянной времени.

Связь с энергией и самоиндукцией

Катушка запасает энергию магнитного поля. При отключении эта энергия превращается главным образом в тепло на сопротивлении цепи. Подробное выражение для энергии приведено на странице [[inductor-energy:Энергия магнитного поля катушки]]. Причина переходного процесса — [[self-induction:самоиндукция]], то есть возникновение ЭДС при изменении тока.

Чем больше индуктивность и начальный ток, тем больше энергия, которую нужно рассеять при отключении. Поэтому у цепи с большой \(L\) ток изменяется медленнее, а при резком размыкании могут возникать большие напряжения.