Равновесие тела
Равновесие означает, что тело сохраняет состояние покоя или движется равномерно и прямолинейно. Для этого необходимо правильно учесть все действующие силы, а для протяжённого тела — ещё и их вращательное действие, то есть моменты.
Что называют равновесием
Тело находится в равновесии, если в выбранной системе отсчёта его ускорение равно нулю и оно не начинает вращаться с угловым ускорением. Поэтому покоящееся тело остаётся в покое, а движущееся тело продолжает двигаться с постоянной скоростью по прямой.
Равновесие — состояние тела, при котором его поступательное ускорение и угловое ускорение равны нулю. В школьных задачах обычно рассматривают тело в покое относительно Земли.
Первое условие связано с поступательным движением и следует из законов Ньютона. Если на тело действуют несколько сил, их складывают по правилам сложения сил. Результат называют равнодействующей сил.
Первое условие: равнодействующая равна нулю
Равнодействующая всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю. В векторной форме это означает, что сумма сил равна нулевому вектору.
В задачах выбирают оси координат и раскладывают силы на составляющие. Тогда условие записывают двумя уравнениями для плоского случая:
Это условие означает не то, что сил нет, а то, что они взаимно уравновешены. Например, у книги на горизонтальном столе сила тяжести направлена вниз, а реакция опоры — вверх. Если книга покоится, их модули равны: \(N=mg\).
Сначала изобразите тело отдельно и нанесите все силы. Затем выберите оси, разложите наклонные силы на составляющие и только после этого записывайте уравнения равновесия.
Тело покоится на горизонтальной поверхности. Что можно утверждать о силах тяжести и реакции опоры?
Второе условие: отсутствие вращения
Для протяжённого тела одной только нулевой равнодействующей недостаточно. Две силы могут иметь равные модули и противоположные направления, но быть приложенными по разным линиям действия. Тогда тело не поступательно движется, однако вращается.
Вращательное действие силы описывает момент силы. Его модуль относительно точки или оси равен произведению силы на плечо — кратчайшее расстояние от точки вращения до линии действия силы.
Для равновесия твёрдого тела в плоскости одновременно должны выполняться два условия: сумма сил равна нулю, а сумма моментов всех сил относительно любой выбранной точки равна нулю.
Знак момента выбирают по договорённости: например, вращение против часовой стрелки считают положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Точку \(O\) для моментов выбирают так, чтобы неизвестные силы проходили через неё: тогда их плечи равны нулю и соответствующие моменты исчезают.
Если линия действия силы проходит через точку вращения, её момент относительно этой точки равен нулю. Сила при этом может быть ненулевой, но вращать тело вокруг выбранной точки она не будет.
Как решать задачи на равновесие
- Выберите тело или систему тел, равновесие которой рассматривается.
- Изобразите все внешние силы: тяжесть, реакцию опоры, натяжение, трение и приложенные силы.
- Выберите оси координат. Для наклонной поверхности удобно направить одну ось вдоль поверхности.
- Запишите условия \(\sum F_x=0\) и \(\sum F_y=0\).
- Если тело может вращаться, выберите точку и запишите \(\sum M_O=0\).
- Проверьте знаки, единицы измерения и смысл полученного ответа.
Разобранный пример: рычаг в равновесии
Однородный рычаг длиной \(2\,м\) опирается на ось в точке, расположенной на расстоянии \(0{,}5\,м\) от левого конца. К левому концу подвешен груз массой \(6\,кг\). Какую массу нужно подвесить к правому концу, чтобы рычаг находился в равновесии? Массой рычага пренебречь.
Рассмотрим моменты относительно опоры. Сила реакции опоры через выбранную точку проходит, поэтому её момент равен нулю. Грузы создают моменты противоположных знаков.
В этой задаче достаточно уравнения моментов, потому что вертикальная реакция опоры автоматически уравновешивает суммарную силу тяжести. Если бы требовались все силы, дополнительно записали бы \(N-m_1g-m_2g=0\).
Системы тел и особые случаи
Если рассматривается несколько соединённых тел, сначала определяют внешние силы для всей системы. Внутренние силы взаимодействия тел при таком рассмотрении взаимно компенсируются. Подробный приём разобран на странице равновесия системы тел. Для одного тела полезны также страницы о равновесии материальной точки и равновесии жёсткого тела.
На наклонной плоскости сила тяжести раскладывается на составляющие вдоль и перпендикулярно поверхности. Удерживать тело может сила трения покоя или натяжение. Такие случаи рассмотрены в темах равновесие на наклонной плоскости и сила трения покоя. Для плавучей системы используют условие плавания системы тел.
1. Считать равновесием равенство двух любых сил, забывая остальные. 2. Не учитывать момент силы и проверять только \(\sum F=0\). 3. Использовать в моменте не перпендикулярное расстояние, а длину отрезка до точки приложения. 4. Складывать моменты без знаков. 5. Путать массу в килограммах с силой тяжести в ньютонах.
Быстрая проверка
Главное
- Равновесие тела означает отсутствие поступательного и углового ускорений.
- Для поступательного равновесия: \(\sum \vec F=0\), или в плоской задаче \(\sum F_x=0\) и \(\sum F_y=0\).
- Для твёрдого тела дополнительно: \(\sum M_O=0\) относительно любой точки.
- Момент силы вычисляют по формуле \(M=Fl\), где \(l\) — перпендикулярное плечо.
- При решении сначала строят схему сил, затем записывают уравнения сил и моментов.