Равновесие системы тел
Равновесие системы тел означает, что выбранная система не изменяет своего движения: она покоится или движется равномерно и прямолинейно. Чтобы проверить равновесие, нужно правильно выделить систему, разделить силы на внешние и внутренние и применить законы Ньютона к системе целиком и к отдельным телам.
Система тел и виды сил
Система тел — несколько тел, рассматриваемых совместно. Границы системы выбирают так, чтобы задача решалась проще. Например, для двух брусков, соединённых нитью, можно рассматривать оба бруска вместе или каждый брусок отдельно.
Внешние силы действуют на тела системы со стороны тел, не входящих в систему: сила тяжести Земли, реакция опоры, сила трения, натяжение нити, если нить не включена в систему. Внутренние силы возникают при взаимодействии тел, входящих в одну систему: например, силы натяжения нити, соединяющей два выбранных бруска.
Внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона: два тела действуют друг на друга силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Поэтому при суммировании сил для всей системы внутренние силы взаимно уничтожаются. Однако для каждого тела по отдельности они остаются важными.
Равнодействующая всех внутренних сил системы равна нулю. Поэтому движение центра масс и поступательное равновесие всей системы определяются только внешними силами.
Условия равновесия системы
Если система тел покоится в выбранной инерциальной системе отсчёта, ускорение каждого тела равно нулю. Для системы в целом это означает, что сумма внешних сил равна нулю. Если тела могут вращаться, необходимо также отсутствие вращательного эффекта внешних сил.
Здесь \(O\) — произвольно выбранная точка, относительно которой вычисляются моменты. В плоской задаче удобно отдельно записывать проекции сил на оси координат и сумму моментов относительно точки, через которую проходит неизвестная реакция опоры.
Для равновесия системы тел необходимо: 1) сумма проекций всех внешних сил на каждую координатную ось равна нулю; 2) сумма моментов внешних сил относительно любой точки равна нулю. Внутренние силы в уравнения системы не входят.
Для неподвижной системы, состоящей из нескольких тел, можно составить уравнения для каждого тела: сумма сил на каждом теле равна нулю. Но если требуется только найти внешнюю силу или реакцию всей системы, выгоднее объединить тела: внутренние силы сократятся.
Как составлять уравнения
- Выберите систему: одно тело или несколько тел вместе.
- Изобразите силы, действующие на выбранную систему. Не добавляйте силы, с которыми система действует на другие тела.
- Выберите оси координат. Обычно одну ось направляют вдоль возможного движения или вдоль наклонной плоскости.
- Запишите проекции сил на оси: \(\sum F_x=0\) и \(\sum F_y=0\) для равновесия.
- Если возможен поворот, выберите точку и запишите условие \(\sum M_O=0\).
- Проверьте знак, единицы измерения и физический смысл ответа.
Два бруска соединены нитью и покоятся на гладком столе. Если системой являются оба бруска, какой силой является натяжение нити?
Разобранный пример: два тела на наклонной плоскости
Брусок массой \(m_1=2\,\text{кг}\) лежит на гладкой наклонной плоскости с углом наклона \(30^\circ\) и соединён нитью через невесомый блок с грузом массой \(m_2=1\,\text{кг}\). Система покоится. Найдём натяжение нити и силу реакции плоскости, считая \(g=10\,\text{м/с}^2\).
Для первого тела вдоль плоскости действуют составляющая силы тяжести \(m_1g\sin\alpha\), направленная вниз по плоскости, и натяжение \(T\), направленное вверх. Для подвешенного груза вниз действует \(m_2g\), вверх — натяжение \(T\). Реакция плоскости перпендикулярна поверхности.
Натяжение нити \(T=10\,\text{Н}\), реакция плоскости \(N=10\sqrt3\,\text{Н}\approx17{,}3\,\text{Н}\). Для всей системы сила натяжения внутренняя и не появляется в суммарном уравнении.
Внутренние силы при рассмотрении частей системы
Одна и та же сила может быть внутренней или внешней — это зависит от выбранных границ системы. Натяжение нити внутреннее для системы «оба груза», но внешнее для системы «только один груз». Именно поэтому при решении важно каждый раз явно указывать, какое тело или какие тела рассматриваются.
Для системы связанных тел сначала часто находят ускорение или условие равновесия всей системы, а затем возвращаются к одному телу и находят натяжение нити или силу взаимодействия. Для этого используют второй закон Ньютона для выбранной части.
1. Считать внутреннюю силу внешней при рассмотрении всей системы. 2. Рисовать силу действия одного тела на другое и её пару на одном и том же теле. 3. Приравнивать сумму сил нулю, не проверив возможность вращения. 4. Использовать \(mg\sin\alpha\) и \(mg\cos\alpha\) не по направлениям: первая составляющая вдоль плоскости, вторая перпендикулярна ей. 5. Забывать, что равновесие означает \(a=0\), но не обязательно отсутствие всех сил.
Связь с равновесием отдельного тела
Условия равновесия системы обобщают равновесие тела. Если система состоит из одного тела, все силы, действующие на него, считаются внешними. Если тел несколько, часть взаимодействий становится внутренней, и при рассмотрении системы целиком они сокращаются.
При наличии вращения используют момент силы относительно точки. Для тела на опоре полезно также определить центр тяжести: если вертикальная линия действия силы тяжести проходит внутри площади опоры, тело может сохранять равновесие; при выходе за край опоры возникает опрокидывание.
- Система выбрана и явно названа.
- Для каждой силы понятно, на какое тело она действует.
- Внутренние силы исключены только в уравнении всей системы.
- Для равновесия записаны проекции сил и, если нужно, моменты.
- Ответ содержит единицы СИ.
Быстрый тест
Главное
- Система тел — выбранная совокупность взаимодействующих тел; классификация силы зависит от границ системы.
- Внешние силы действуют со стороны тел вне системы, внутренние возникают внутри неё.
- Для равновесия системы: \(\sum\vec F_{\text{внеш}}=\vec0\) и \(\sum M_O=0\).
- Внутренние силы сокращаются в уравнении всей системы, но появляются при рассмотрении отдельных тел.
- Алгоритм решения: выбрать систему, построить силы, записать проекции и моменты, проверить единицы и смысл ответа.