Трение на наклонной плоскости
Тело на шероховатой наклонной плоскости может покоиться, скользить вниз или двигаться вверх. Чтобы решить задачу, нужно выбрать оси вдоль и перпендикулярно плоскости, разложить силы по этим осям и применить второй закон Ньютона с учётом силы трения.
Силы и выбор осей
Рассмотрим тело массой \(m\) на плоскости, наклонённой к горизонту под углом \(\alpha\). На тело действуют сила тяжести \(mg\), реакция опоры \(N\) и сила трения \(F_{\text{тр}}\). Если к телу прикреплена нить или действует внешняя сила, её также нужно изобразить на чертеже. Правильная разложение силы по осям помогает не перепутать проекции.
Ось \(Ox\) удобно направить вдоль плоскости, а ось \(Oy\) — перпендикулярно ей. Тогда сила тяжести имеет проекции \(mg\sin\alpha\) вдоль плоскости и \(mg\cos\alpha\) перпендикулярно плоскости.
Сила трения скольжения возникает при соприкосновении поверхностей и направлена вдоль поверхности контакта противоположно относительной скорости. Её модуль равен \(F_{\text{тр}}=\mu N\), где \(\mu\) — коэффициент трения.
Равновесие и скольжение вниз
В направлении, перпендикулярном плоскости, ускорения нет: тело не проваливается в опору и не отрывается от неё. Поэтому при отсутствии других перпендикулярных сил реакция опоры определяется из равенства проекций сил.
Если тело скользит вниз, сила трения направлена вверх по плоскости. Второй закон Ньютона вдоль плоскости имеет вид:
Тело начинает скользить вниз, если составляющая силы тяжести вдоль плоскости превышает максимальную силу трения покоя. При модели \(F_{\text{тр}}=\mu mg\cos\alpha\) условие записывают как \(\tan\alpha>\mu\).
Для точного описания покоя используют коэффициент трения покоя \(\mu_0\): сила трения покоя не обязана быть равна \(\mu_0N\), она принимает нужное значение до предельного \(F_{\text{тр.покоя, max}}=\mu_0N\). Поэтому тело покоится при \(mg\sin\alpha\leq\mu_0mg\cos\alpha\), или \(\tan\alpha\leq\mu_0\).
Куда направлена сила трения, если тело скользит вниз по наклонной плоскости?
Движение вверх и внешняя сила
Если тело движется вверх по плоскости, сила трения направлена вниз. При движении вверх без дополнительных сил уравнение вдоль плоскости выглядит так:
Ускорение направлено вниз по плоскости, поэтому при выборе положительного направления вверх оно отрицательно. Если тело бросили вверх, оно замедляется, пока скорость не станет равной нулю. Затем возможны покой или скольжение вниз — это определяется условием трения покоя.
Если тело тянут вверх силой \(F\), направленной вдоль плоскости, то при движении вверх:
При равномерном движении \(a=0\), поэтому сила тяги равна сумме сил, направленных вниз. Эта ситуация связана с силой трения при равномерном движении.
Сначала нарисуйте все силы и укажите направление возможного движения. Затем выберите оси, найдите \(N\) из перпендикулярной проекции, вычислите трение \(\mu N\) и запишите второй закон Ньютона вдоль плоскости.
Разобранный пример
Брусок массой \(2\,\text{кг\)} скользит вниз по плоскости с углом наклона \(30^\circ\). Коэффициент трения \(\mu=0{,}2\). Найдём ускорение. Примем \(g=10\,\text{м/с}^2\).
Жауабы: ускорение бруска направлено вниз по плоскости и примерно равно \(3{,}27\,\text{м/с}^2\). Масса сократилась: в стандартной есепке без других сил ускорение не зависит от массы.
Частые ошибки и особые случаи
1. Силу трения направляют всегда вниз. На самом деле она противоположна движению или возможному движению. 2. Пишут \(N=mg\). На наклонной плоскости без дополнительных сил \(N=mg\cos\alpha\). 3. Используют \(mg\cos\alpha\) вдоль плоскости и \(mg\sin\alpha\) перпендикулярно. Проекции перепутаны местами. 4. Считают силу трения покоя всегда равной \(\mu N\). Она может быть меньше предельного значения. 5. Забывают сменить направление трения после разворота движения.
Если внешняя сила направлена под углом к плоскости, она меняет не только движение вдоль поверхности, но и реакцию опоры. Поэтому сначала нужно разложить эту силу на две проекции и только затем вычислять трение. При нескольких телах удобно обратиться к теме системы связанных тел, а при условии покоя всей конструкции — к равновесию системы тел.
Главное
- На наклонной плоскости выбирайте оси вдоль плоскости и перпендикулярно ей.
- Без дополнительных перпендикулярных сил \(N=mg\cos\alpha\).
- Сила трения равна \(\mu N\) при скольжении и направлена против движения.
- При скольжении вниз \(a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\).
- Для покоя сравнивают требуемую силу трения с её максимальным значением.