Равновесие на наклонной плоскости
Равновесие тела на наклонной плоскости определяют с помощью разложения сил на составляющие вдоль плоскости и перпендикулярно ей. Такой выбор осей превращает векторные уравнения в два обычных уравнения равновесия.
Модель тапсырма и выбор осей
Наклонная плоскость образует с горизонтом угол \(\alpha\). На тело могут действовать сила тяжести \(m\vec g\), сила реакции опоры \(\vec N\), сила трения покоя \(\vec F_{\text{тр}}\), сила упругости пружины или внешняя сила. Направление каждой силы задают физические условия, а не удобство рисунка.
Тело находится в равновесии, если его ускорение равно нулю. Для поступательного движения это означает, что векторная сумма всех сил равна нулю: \(\sum\vec F=\vec 0\).
Удобно провести ось \(Ox\) вдоль наклонной плоскости, обычно вверх по склону, а ось \(Oy\) — перпендикулярно плоскости наружу. Такой приём рассматривается подробнее на странице координатных осей на наклонной плоскости. Разложение векторов и смысл их проекций повторяются в теме разложения силы.
Разложение силы тяжести
Сила тяжести направлена вертикально вниз и не совпадает ни с одной из выбранных осей. Её разлагают на две взаимно перпендикулярные составляющие: вдоль плоскости и перпендикулярно ей. Если ось \(Ox\) направлена вверх по склону, продольная составляющая силы тяжести направлена вниз по склону.
Знак проекции зависит от выбранного положительного направления. По модулю составляющая вдоль плоскости равна \(mg\sin\alpha\), а прижимающая составляющая — \(mg\cos\alpha\). Поэтому при увеличении угла наклона продольная составляющая растёт, а нормальная уменьшается.
На плоскости с углом наклона \(\alpha\) сила тяжести имеет составляющую \(mg\sin\alpha\) вдоль плоскости и составляющую \(mg\cos\alpha\) перпендикулярно плоскости. Это следует из прямоугольного треугольника составляющих: угол между вертикалью и перпендикуляром к плоскости равен \(\alpha\).
Сила реакции опоры перпендикулярна поверхности. Если других сил с перпендикулярными к плоскости составляющими нет, из равновесия по оси \(Oy\) получаем \(N=mg\cos\alpha\). Именно эта сила определяет максимально возможную силу трения покоя: \(F_{\text{тр}\,max}=\mu N\); подробнее см. страницу силе трения покоя.
Какова составляющая силы тяжести вдоль наклонной плоскости, если угол наклона равен \(\alpha\)?
Условия равновесия
После разложения всех сил записывают отдельное условие для каждой оси. Для покоящегося тела сумма проекций на каждую взаимно перпендикулярную ось должна быть равна нулю. Это конкретная запись общего правила равновесия тела.
Если тело стремится скользить вниз, сила трения покоя направлена вверх по плоскости. В простейшем случае, когда кроме силы тяжести действуют только \(N\) и трение, равновесие вдоль плоскости даёт \(F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha\), а перпендикулярно ей — \(N=mg\cos\alpha\).
После сокращения на \(mg\) условие существования равновесия принимает вид \(\tan\alpha\leq\mu\). Если равенство достигается, тело находится на грани скольжения. Угол, при котором начинается скольжение, называют предельным углом: \(\tan\alpha_{\text{пр}}=\mu\).
Брусок массой \(m=2\) кг покоится на наклонной плоскости с углом \(\alpha=30^\circ\). Коэффициент трения покоя \(\mu=0{,}6\). Примем \(g=10\) м/с². Нужно проверить равновесие и найти силы трения и реакции опоры.
Сначала изобразите все силы, затем выберите оси, разложите силы по осям, запишите \(\sum F_x=0\) и \(\sum F_y=0\). Только после этого подставляйте числа и проверяйте ограничение \(F_{\text{тр}}\leq\mu N\).
Дополнительная сила и типичные ошибки
Если к телу приложена сила вдоль плоскости, она кіреді только в уравнение по оси \(Ox\). Например, при тяге вверх с силой \(F\) равновесие записывают как \(F-F_{\text{тр}}-mg\sin\alpha=0\), если трение направлено вниз. Если сила приложена под углом к плоскости, её также нужно разложить на продольную и нормальную составляющие. Дополнительная нормальная составляющая изменит \(N\), а значит, и предельное трение.
Не путайте \(mg\sin\alpha\) и \(mg\cos\alpha\): первая составляющая направлена вдоль плоскости, вторая — перпендикулярно. Не направляйте трение всегда вниз: оно противодействует возможному относительному движению. Не приравнивайте силу трения сразу к \(\mu N\): для трения покоя \(F_{\text{тр}}\leq\mu N\), а равенство выполняется только на грани скольжения. И не забывайте, что \(N=mg\cos\alpha\) справедливо лишь при отсутствии других нормальных составляющих сил.
Для тела без дополнительных сил на наклонной плоскости: \(N=mg\cos\alpha\), требуемое трение \(F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha\), а условие покоя \(\tan\alpha\leq\mu\).
Quick-test
Проверьте себя
Главное
- Выбирайте ось \(Ox\) вдоль плоскости, а \(Oy\) перпендикулярно ей.
- Разложение силы тяжести: \(mg_{\parallel}=mg\sin\alpha\) и \(mg_{\perp}=mg\cos\alpha\).
- Для равновесия выполняются условия \(\sum F_x=0\) и \(\sum F_y=0\).
- При отсутствии дополнительных нормальных сил \(N=mg\cos\alpha\).
- Равновесие с трением возможно, если \(F_{\text{тр}}\leq\mu N\), или \(\tan\alpha\leq\mu\).