Равновесие жёсткого тела
Жёсткое тело находится в равновесии, если со временем не изменяются ни положение его центра масс, ни ориентация в пространстве. Для этого одновременно должны выполняться условия равновесия поступательного и вращательного движения.
Что называют равновесием твёрдого тела
Жёстким телом называют модель, в которой расстояния между любыми двумя точками тела считаются неизменными. На такое тело могут действовать несколько сил: тяжести, реакции опоры, натяжения, трения и другие. Сначала удобно найти равнодействующую сил — векторную сумму всех приложенных сил.
Равновесие — состояние, при котором ускорение центра масс тела равно нулю, а угловое ускорение относительно любой неподвижной оси также равно нулю. Тело может при этом покоиться или двигаться равномерно и прямолинейно.
Для равновесия свободного твёрдого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма всех сил была равна нулю и сумма моментов всех сил относительно любой выбранной точки была равна нулю.
Равновесие поступательного движения
Поступательное движение отсутствует или происходит равномерно, если ускорение центра масс равно нулю. По второму закону Ньютона это возможно тогда, когда равнодействующая сил равна нулю.
В задачах обычно выбирают оси координат и записывают условие по каждой оси отдельно. Для тела на плоскости чаще всего используют горизонтальную и вертикальную оси.
Знак силы определяется её направлением относительно выбранной оси. Например, если брусок покоится на горизонтальной поверхности, вертикальные силы тяжести и реакции опоры взаимно компенсируются: \(N-mg=0\). При наличии горизонтальной силы её обычно уравновешивает сила трения.
Брусок покоится на горизонтальном столе. Какие силы компенсируют друг друга по вертикали?
Равновесие вращательного движения
Даже если равнодействующая сил равна нулю, тело может вращаться. Поэтому необходимо проверить моменты сил. Момент силы относительно точки характеризует её способность вращать тело.
Модуль момента вычисляют как произведение силы на плечо — кратчайшее расстояние от точки вращения до линии действия силы. Знак момента выбирают по направлению вращения: например, против часовой стрелки можно считать положительным, а по часовой — отрицательным.
Здесь \(r_\perp\) — плечо силы. Если линия действия силы проходит через выбранную точку, плечо равно нулю, поэтому момент этой силы относительно точки также равен нулю. Полное условие вращательного равновесия записывают так:
Это связано с правилом моментов: сумма моментов сил, вращающих тело в одну сторону, равна сумме моментов сил, вращающих его в противоположную сторону. Точку \(O\) выбирают произвольно, но в расчётах выгодно брать точку, через которую проходят неизвестные силы: их моменты тогда исчезают.
Для тела, все силы которого лежат в одной плоскости, достаточно записать три независимых уравнения: \(\sum F_x=0\), \(\sum F_y=0\) и \(\sum M_O=0\). Они определяют отсутствие поступательного и вращательного ускорений.
Разбор задачи: горизонтальная балка
Однородная балка длиной \(L=4\,\text{м}\) и массой \(m=20\,\text{кг}\) закреплена шарниром в точке \(A\). Другой конец балки удерживается вертикальной верёвкой. Найдём силу натяжения верёвки, если балка расположена горизонтально. Сопротивлением шарнира пренебречь, \(g=10\,\text{м/с}^2\).
Сила тяжести однородной балки приложена в её центре масс, то есть на расстоянии \(L/2\) от шарнира. Выберем точку \(A\) для вычисления моментов: силы реакции шарнира не войдут в уравнение, потому что их плечи равны нулю.
Сила натяжения верёвки равна \(T=100\,\text{Н}\). После нахождения \(T\) при необходимости можно использовать условия \(\sum F_x=0\) и \(\sum F_y=0\), чтобы определить реакции шарнира.
Алгоритм решения задач
- Изобразите тело отдельно от окружающих объектов и нанесите все силы.
- Укажите точки приложения сил и линии их действия.
- Выберите оси координат и удобную точку для моментов.
- Запишите \(\sum F_x=0\) и \(\sum F_y=0\).
- Запишите \(\sum M_O=0\), учитывая плечи и знаки моментов.
- Решите систему и проверьте размерности, знаки и физический смысл ответа.
Не путайте силу и её момент: равенство сил не гарантирует равенство моментов. Нельзя брать расстояние до точки приложения вместо плеча — нужно перпендикулярное расстояние до линии действия силы. Не забывайте момент силы тяжести: у однородного тела он приложен в центре масс. Если сила проходит через выбранную точку, её момент равен нулю, но сама сила всё равно участвует в уравнениях проекций.
Для тела с шарниром сначала берите моменты относительно шарнира. Так автоматически исключаются реакции шарнира. Для однородного тела сразу отмечайте центр масс: он находится в геометрическом центре симметричного тела.
Проверь себя
Главное
- Равновесие твёрдого тела требует одновременно \(\sum\vec F=0\) и \(\sum M_O=0\).
- В плоской задаче используют уравнения \(\sum F_x=0\), \(\sum F_y=0\), \(\sum M_O=0\).
- Момент силы равен \(M=F\cdot r_\perp\), где \(r_\perp\) — плечо силы.
- Точку для моментов выбирают так, чтобы исключить неизвестные реакции и упростить расчёт.
- Сила тяжести однородного тела приложена в его центре масс.