Момент инерции
Момент инерции показывает, насколько трудно изменить вращение тела: чем он больше, тем больше момент силы нужен для получения того же углового ускорения. На момент инерции влияют масса тела и распределение массы относительно оси вращения.
Формулы
Для тела, состоящего из отдельных частей, используют сумму \(I=\sum m_i r_i^2\). Для сплошного тела применяется интегрирование. В динамике вращательного движения момент инерции входит в основной закон: \(M=I\varepsilon\), где \(M\) — момент силы, а \(\varepsilon\) — угловое ускорение.
| Тело и ось вращения | Момент инерции |
|---|---|
| Материальная точка на расстоянии \(r\) | \(I=mr^2\) |
| Тонкий обруч или кольцо вокруг центральной оси | \(I=MR^2\) |
| Сплошной диск или цилиндр вокруг центральной оси | \(I=\frac{1}{2}MR^2\) |
| Сплошной шар вокруг диаметра | \(I=\frac{2}{5}MR^2\) |
| Тонкий стержень вокруг середины, ось перпендикулярна стержню | \(I=\frac{1}{12}ML^2\) |
Обруч и диск имеют одинаковые массу \(M\) и радиус \(R\). Для обруча \(I=MR^2\), а для диска \(I=\frac12MR^2\). Поэтому обруч труднее раскрутить: большая часть его массы находится дальше от оси.
Момент инерции не равен массе и не является постоянной характеристикой тела без указания оси. Одно и то же тело относительно разных осей имеет разные моменты инерции. Также момент инерции не следует путать с моментом импульса: момент инерции характеризует тело, а момент импульса зависит ещё и от угловой скорости.
Как изменится момент инерции материальной точки, если расстояние до оси увеличить в 2 раза?
Главное
- Момент инерции — мера инертности тела при вращении; единица СИ — кг·м².
- Он зависит от массы, расстояния частей тела до оси и выбора оси вращения.
- Для материальной точки \(I=mr^2\), а для простых тел используют стандартные формулы.