Динамика вращательного движения
Динамика вращательного движения связывает причины вращения с его изменением: аналогом силы при поступательном движении становится момент силы, а аналогом массы — момент инерции. Для понимания темы сначала повторите кинематику вращательного движения, а затем используйте основное уравнение вращения.
Основные величины вращательного движения
Тело вращается вокруг оси. Положение тела описывают углом поворота \(\varphi\), быстроту вращения — угловой скоростью \(\omega\), а изменение угловой скорости — угловым ускорением \(\varepsilon\). Если угловая скорость постоянна, движение равномерное; если она изменяется, вращение является равноускоренным или неравноускоренным.
Момент силы относительно точки или оси — физическая величина, характеризующая способность силы вращать тело. Для силы \(F\), приложенной на расстоянии \(r\) от оси, \(M=F\ell\), где \(\ell\) — плечо силы, то есть кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.
Если сила направлена под углом \(\alpha\) к радиусу, вращающий эффект создаёт только перпендикулярная составляющая силы. Поэтому момент можно записать как \(M=rF\sin\alpha\). Момент считают положительным или отрицательным в зависимости от выбранного направления вращения.
Момент инерции тела относительно оси показывает, насколько тело сопротивляется изменению вращательного движения. Он зависит не только от массы, но и от распределения массы относительно оси: чем дальше части тела от оси, тем больше момент инерции.
Для сплошного тела сумму заменяют интегралом: \(I=\int r^2\,dm\). В школьных задачах обычно используют готовые выражения для стандартных тел.
| Тело и ось | Момент инерции |
|---|---|
| Материальная точка на расстоянии \(r\) | \(I=mr^2\) |
| Тонкий обруч или кольцо относительно центральной оси | \(I=MR^2\) |
| Однородный диск или цилиндр относительно оси симметрии | \(I=\frac12MR^2\) |
| Однородный стержень относительно оси через центр | \(I=\frac1{12}ML^2\) |
| Однородный стержень относительно оси через конец | \(I=\frac13ML^2\) |
Основное уравнение вращательного движения
Для поступательного движения второй закон Ньютона имеет вид \(\sum\vec F=m\vec a\). Его вращательный аналог связывает сумму моментов внешних сил с угловым ускорением тела.
Сумма моментов внешних сил относительно неподвижной оси равна произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение.
Уравнение применяют, если ось вращения неподвижна, а момент инерции относительно неё не изменяется. При выборе положительного направления все моменты, вращающие тело в эту сторону, берут со знаком «плюс», а противоположные — со знаком «минус». Если действуют несколько сил, сначала находят момент каждой силы, затем складывают их алгебраически.
Для материальной точки, движущейся по окружности, \(M=rF\), \(I=mr^2\) и \(\varepsilon=a_\tau/r\). Подстановка в \(M=I\varepsilon\) приводит к \(F=ma_\tau\), то есть вращательное уравнение согласуется со вторым законом Ньютона.
Как изменится момент силы, если плечо увеличить в 2 раза, а силу оставить прежней?
Как решать задачи
- Сделайте рисунок и укажите ось вращения.
- Определите все силы и их линии действия.
- Для каждой силы найдите плечо и момент с учётом знака.
- Запишите \(\sum M=I\varepsilon\).
- Подставьте момент инерции тела, выразите неизвестную величину и проверьте единицы.
Если тело вращается под действием силы тяжести, момент силы тяжести равен \(M_g=mg\ell\), где \(\ell\) — плечо силы тяжести. Для тела, подвешенного на оси, реакция опоры часто проходит через ось и потому имеет нулевой момент относительно этой оси.
Однородный диск массой \(M=2\,\text{кг}\) и радиусом \(R=0{,}2\,\text{м}\) вращается вокруг центральной оси. К ободу приложена постоянная касательная сила \(F=3\,\text{Н}\). Найдите угловое ускорение.
Если сила приложена к ободу по касательной, момент сразу равен \(FR\). Если сила направлена к оси, её плечо равно нулю и вращения она не создаёт, даже если сама сила велика.
Теорема Штейнера и составные тела
Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.
Теорема Штейнера удобна для стержней и дисков, когда ось не проходит через центр масс. Для системы тел момент инерции равен сумме моментов инерции отдельных частей относительно одной и той же оси: \(I=I_1+I_2+\ldots\).
При вращении без внешнего момента применяют закон сохранения момента импульса. Сам момент импульса связан с динамикой вращения формулой \(L=I\omega\) для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Частые ошибки
1. Не путайте силу \(F\) и момент силы \(M\): у них разные единицы. 2. В формуле \(M=F\ell\) берут не расстояние до точки приложения, а перпендикулярное плечо до линии действия силы. 3. Не забывайте знак момента. 4. Момент инерции зависит от оси вращения. 5. В таблицах не заменяйте диск формулой обруча: у диска \(I=\frac12MR^2\), у обруча \(I=MR^2\). 6. В равновесии требуется \(\sum M=0\), но для вращающегося с ускорением тела сумма моментов не равна нулю.
Итоговая проверка
Ответьте без подсказки
Главное
- Момент силы определяется формулой \(M=F\ell=rF\sin\alpha\).
- Момент инерции характеризует сопротивление тела изменению вращения и зависит от распределения массы относительно оси.
- Основное уравнение вращательного движения: \(\sum M=I\varepsilon\).
- Для переноса оси применяют теорему Штейнера: \(I=I_{\text{ц.м.}}+Md^2\).
- В задачах нужно выбрать ось, найти плечи всех сил, расставить знаки и только затем записать уравнение моментов.